18. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой ∠A, величина которого равна 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 9√2.

Обозначим трапецию ABCD, где AD и BC - основания, ∠A = 45°, AC - биссектриса, BC = 9√2.

Поскольку AC - биссектриса угла A, то ∠BAC = ∠CAD = 45° / 2 = 22.5°

Т.к. трапеция прямоугольная, то ∠B = ∠C = 90°

Проведём высоту CH к основанию AD. Тогда CH = AB. И CH = BC = 9√2

Рассмотрим треугольник ACD: ∠CAD = 22.5°, ∠ACD = 90° - 22.5° = 67.5°

Рассмотрим треугольник ABD: ∠BAD = 45°, ∠ABD = ?

Найдём AD: AD = AH + HD = BC + CD = 9√2 + CD

Рассмотрим треугольник AHC: AH = CH = 9√2

Тангенс угла CAD равен CD / AC. Значит CD = AC * tg(22.5°)

Но AC = √(AH^2 + CH^2) = √(2 * (9√2)^2) = 9√2 * √2 = 18

CD = 18 * tg(22.5°) = 18 * (√2 - 1)

AD = 9√2 + 18 * (√2 - 1) = 9√2 + 18√2 - 18 = 27√2 - 18

По теореме косинусов для треугольника ABD:

BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cos(45°)

BD^2 = (9√2)^2 + (27√2 - 18)^2 - 2 * 9√2 * (27√2 - 18) * √2 / 2

BD^2 = 162 + (1458 - 972√2 + 324) - (18 * (27 * 2 - 18√2))

BD^2 = 162 + 1782 - 972√2 - (18 * (54 - 18√2))

BD^2 = 1944 - 972√2 - (972 - 324√2)

BD^2 = 1944 - 972√2 - 972 + 324√2

BD^2 = 972 - 648√2

BD = √(972 - 648√2)

BD = √(324(3 - 2√2)) = 18√(3 - 2√2) = 18√(2 - 2√2 + 1) = 18√((√2 - 1)^2) = 18(√2 - 1)

Ответ: 18\(\sqrt{2}\) - 18