4*. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна 3√2 см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.

Запишем условие задачи.

АВСК – прямоугольная трапеция.
ВС – меньшее основание.
АК – большее основание.
АВ – меньшая боковая сторона = высоте СН.
СК – большая боковая сторона = $$3\sqrt{2}$$ см.
∠К = 45°.
СН делит основание АК пополам.
Найти площадь трапеции – ? см².

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник СНК. Так как ∠К = 45°, то ∠НСК = 45°. Следовательно, треугольник СНК – равнобедренный, то есть СН = НК.
2. В прямоугольном треугольнике СНК по теореме Пифагора $$СК^2 = СН^2 + НК^2$$ $$(3\sqrt{2})^2 = СН^2 + СН^2$$ $$18 = 2СН^2$$ $$СН^2 = 9$$ $$СН = \sqrt{9} = 3 \text{ (см)}$$
3. Так как СН = НК, то НК = 3 см.
4. Так как по условию СН делит основание АК пополам, то АН = НК = 3 см.
5. Тогда АК = АН + НК = 3 + 3 = 6 см.
6. Так как АВСН – прямоугольник, то ВС = АН = 3 см.
7. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. $$S = \frac{ВС + АК}{2} \cdot СН$$ $$S = \frac{3 + 6}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2} \cdot 3 = 13,5 \text{ (см}^2{)}$$

Ответ: 13,5 см².