Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Краткое пояснение: Воспользуемся свойством касательных, проведенных из одной точки к окружности, и теоремой Пифагора.
Пошаговое решение:
- Пусть O – центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC, а B и C – вершины треугольника, к которым проведены отрезки из центра окружности.
- Пусть r – радиус вписанной окружности.
- Расстояния от центра окружности O до точек B и C известны: BO = 11, CO = 13.
- Обозначим точки касания окружности со сторонами AB и AC как D и E соответственно. Тогда OD = OE = r, и углы ODB и OEC – прямые.
- Рассмотрим четырехугольник ADOE. Так как углы DAO, ADO и AEO – прямые, то ADOE – квадрат, и AD = AE = r.
- Пусть BD = x и CE = y. Тогда AB = r + x и AC = r + y.
- Применим теорему Пифагора к треугольнику BDO: \(BD^2 + OD^2 = BO^2 \), то есть \(x^2 + r^2 = 11^2 = 121 \).
- Применим теорему Пифагора к треугольнику CEO: \(CE^2 + OE^2 = CO^2 \), то есть \(y^2 + r^2 = 13^2 = 169 \).
- Теперь рассмотрим треугольник ABC. По теореме Пифагора: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 \), то есть \(BC^2 = (r + x)^2 + (r + y)^2 \).
- Раскроем скобки: \(BC^2 = r^2 + 2rx + x^2 + r^2 + 2ry + y^2 \).
- Перегруппируем: \(BC^2 = (x^2 + r^2) + (y^2 + r^2) + 2r(x + y) \).
- Подставим известные значения: \(BC^2 = 121 + 169 + 2r(x + y) = 290 + 2r(x + y) \).
- Также, BC = x + y. Тогда \(BC^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).
- Так как BC = x + y, рассмотрим треугольники BDO и CEO. Выразим \(x = \sqrt{121 - r^2} \) и \(y = \sqrt{169 - r^2} \).
- Следовательно, \(BC = \sqrt{121 - r^2} + \sqrt{169 - r^2} \). Тогда \(BC^2 = (\sqrt{121 - r^2} + \sqrt{169 - r^2})^2 \).
- Раскроем скобки: \(BC^2 = 121 - r^2 + 2\sqrt{(121 - r^2)(169 - r^2)} + 169 - r^2 = 290 - 2r^2 + 2\sqrt{(121 - r^2)(169 - r^2)} \).
- Сравним два выражения для BC^2: \(290 + 2r(x + y) = 290 - 2r^2 + 2\sqrt{(121 - r^2)(169 - r^2)} \).
- Упростим: \(r(x + y) = -r^2 + \sqrt{(121 - r^2)(169 - r^2)} \).
- Из прямоугольного треугольника следует, что \(r = \frac{AB + AC - BC}{2} \), где AB = r + x и AC = r + y. Тогда \(r = \frac{r + x + r + y - (x + y)}{2} = \frac{2r}{2} = r \).
- Так как \(BC = x + y \), то \(BC = \sqrt{121 - r^2} + \sqrt{169 - r^2} \). Из условия, что треугольник прямоугольный, имеем соотношение \(r = \frac{a + b - c}{2} \), где a и b – катеты, c – гипотенуза.
- В нашем случае: \(AB = r + x, AC = r + y, BC = x + y \). Тогда \(r = \frac{r + x + r + y - (x + y)}{2} = r \).
- Также, \(x = BD, y = CE \). Значит, \(BC = BD + CE = 11 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 13 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = (11 + 13) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2} \).
Ответ: \(12\sqrt{2}\)
