В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, угол B прямой. Вычисли углы треугольника A и C, а также центральные углы, если ∠FOE = 149°.

Дано: треугольник ABC, ∠B = 90°, окружность вписана в треугольник ABC, ∠FOE = 149°.

Найти: ∠A, ∠C, ∠EOD, ∠DOF.

Решение:

1. 
   

   Рассмотрим четырехугольник DBOE. У него ∠B = 90°. ∠BDO = 90° (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). ∠BEO = 90° (аналогично). Сумма углов четырехугольника равна 360°. Следовательно, ∠DOE = 360° - 90° - 90° - 90° = 90°.

   
   


2. 
   

   ∠FOE = 149° (дано). ∠DOF = 360° - ∠DOE - ∠FOE = 360° - 90° - 149° = 121°.

   
   


3. 
   

   Сумма углов треугольника равна 180°. ∠A + ∠C = 180° - ∠B = 180° - 90° = 90°.

   
   


4. 
   

   Центральный угол FOE опирается на дугу FE. Вписанный угол C опирается на эту же дугу. Следовательно, ∠C = (1/2) * (360° - ∠FOE) = (1/2) * (360° - 149°) = (1/2) * 211° = 105.5°. Но так как ОFCE не является вписанным углом, то угол C равен (180 - ∠FOE)/2. ∠C = (180 - ∠FOE)/2 = (180 - 149)/2 = 31/2 = 15.5°.

   
   


5. 
   

   ∠A = 90° - ∠C = 90° - 15.5° = 74.5°.

   
   

Ответ: ∠A = 74.5°, ∠C = 15.5°, ∠EOD = 90°, ∠DOF = 121°