В прямоугольный треугольник с катетами 6 ед. изм. и 6 ед. изм. вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Вычисли периметр квадрата.

Дано:

• Прямоугольный треугольник с катетами 6 ед. изм. и 6 ед. изм.
• Вписан квадрат с общим прямым углом.

Найти: Периметр квадрата.

Решение:

Пусть данный прямоугольный треугольник — ABC, где угол C — прямой, а катеты AC = BC = 6.

Вписанный квадрат обозначим как CDEF, где точка D лежит на гипотенузе AB, а точки E и F — на катетах BC и AC соответственно.

Так как треугольник равнобедренный (AC = BC), то и вписанный квадрат будет иметь сторону, равную половине катета. Это можно доказать, используя подобие треугольников.

Рассмотрим подобные треугольники:

• Большой треугольник ABC.
• Маленький треугольник AFE (где F лежит на AC, E на BC, D на AB).

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда CF = CE = a.

Высота треугольника ABC, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, так как треугольник равнобедренный. Длина гипотенузы AB = √(6² + 6²) = √(36 + 36) = √72 = 6√2.

Высота из C к AB равна (6 * 6) / (6√2) = 36 / (6√2) = 6 / √2 = 3√2.

Рассмотрим подобный треугольник, образованный вершиной C, точкой D на гипотенузе и стороной квадрата, параллельной гипотенузе. Высота этого маленького треугольника (от C до стороны квадрата) будет равна 3√2 - a.

Используя свойство подобных треугольников (отношение высоты к основанию):

( 3√2 - a ) / a = (3√2) / (6√2)

( 3√2 - a ) / a = 1/2

2 * (3√2 - a) = a

6√2 - 2a = a

6√2 = 3a

a = 2√2

Более простой способ для равнобедренного прямоугольного треугольника:

В равнобедренном прямоугольном треугольнике сторона вписанного квадрата равна 1/3 от длины катета.

a = 6 / 3 = 2 ед. изм.

Периметр квадрата равен 4 * a.

Периметр = 4 * 2 = 8 ед. изм.

Ответ: 8 ед. изм.