В прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 и 10, вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите сторону квадрата.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^ \). Катеты равны \( AC = 6 \) и \( BC = 10 \). В этот треугольник вписан квадрат CDEF, где точка D лежит на гипотенузе AB, точка E — на катете BC, а точка F — на катете AC. Сторона квадрата равна \( x \), то есть \( CF = CD = DE = EF = x \).

Рассмотрим подобные треугольники:

1. Треугольник ABC подобен треугольнику EBD. Отношение катетов: \( \frac{AC}{BC} = \frac{EF}{EB} \).
2. Так как \( EF = x \), то \( EB = BC - EC = 10 - x \).
3. Подставляем значения: \( \frac{6}{10} = \frac{x}{10 - x} \).
4. Решаем уравнение: \( 6(10 - x) = 10x \)
5. \( 60 - 6x = 10x \)
6. \( 60 = 16x \)
7. \( x = \frac{60}{16} = \frac{15}{4} = 3.75 \).

Ответ: 3.75