В прямой призме АВС А1 В1 С1 все рёбра равны 48. Т Є A1 B1, A₁T = TB1. а) Докажите, что Д ТА С1 — прямоугольный. б) Определите угол между плоскостью ТА С1 и плоскостью А1 В1 С1.

а) Доказательство:

Смотри, как это работает:

1. Первый шаг: Так как призма прямая, то боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Значит, TC₁ перпендикулярна A₁B₁.

   \[TC_1 \perp A_1B_1\]

2. Второй шаг: Так как T - середина A₁B₁, то AT является медианой и высотой в равностороннем треугольнике A₁B₁C₁. Значит, AT перпендикулярна A₁B₁.

   \[AT \perp A_1B_1\]

3. Третий шаг: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Следовательно, TC₁ перпендикулярна плоскости A₁B₁C₁.

   \[\Rightarrow TC_1 \perp AT\]

4. Четвертый шаг: Так как TC₁ перпендикулярна плоскости A₁B₁C₁, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, A₁T. Следовательно, треугольник TA C₁ прямоугольный с прямым углом при вершине T.

б) Ответ:

Разбираемся:

1. Первый шаг: Угол между плоскостями TA C₁ и A₁B₁C₁ - это угол между TC₁ и ее проекцией на плоскость A₁B₁C₁.
2. Второй шаг: Проекцией TC₁ на плоскость A₁B₁C₁ является A₁T. Следовательно, искомый угол - это угол TA₁C₁.

3. Третий шаг: Так как треугольник TA C₁ прямоугольный, а TA₁C₁ является углом между гипотенузой и катетом, то он равен 45°.

Ответ: 45°