В пятиугольнике ABCDE стороны АВ и CD параллельны, а его углы при вершинах А и Е равны 120° и 130°. Найдите угол при вершине D пятиугольника, если его диагональ BD параллельна стороне АЕ.

Сумма углов пятиугольника равна $$(5-2) \cdot 180^{\circ} = 3 \cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}$$.

Так как стороны АВ и CD параллельны, а диагональ BD параллельна стороне АЕ, то четырехугольник ABDE - параллелограмм (по определению), значит, углы BAE и BDE равны, т.е. угол BDE равен 120°.

Обозначим угол CDE как α. Тогда сумма углов пятиугольника ABCDE:

$$ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E = 540^{\circ} $$ $$ \angle A = 120^{\circ} $$ $$ \angle E = 130^{\circ} $$

Так как ABDE - параллелограмм, то

$$ \angle BDE = \angle BAE = 120^{\circ} $$

Угол CDE обозначен как α.

Угол ABC равен углу ADE как углы параллелограмма ABDE, т.е.

$$ \angle ABC = \angle ADE = \angle BDE + \angle CDE = 120^{\circ} + \alpha $$

Также известно, что

$$ \angle A + \angle ABC + \angle C + \angle CDE + \angle E = 540^{\circ} $$

Подставим известные значения:

$$ 120^{\circ} + (120^{\circ} + \alpha) + \angle C + \alpha + 130^{\circ} = 540^{\circ} $$ $$ 370^{\circ} + 2\alpha + \angle C = 540^{\circ} $$ $$ 2\alpha + \angle C = 170^{\circ} $$

Так как АВ || CD, то углы В и С - внутренние односторонние углы при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС, следовательно:

$$ \angle B + \angle C = 180^{\circ} $$ $$ 120^{\circ} + \alpha + \angle C = 180^{\circ} $$ $$ \alpha + \angle C = 60^{\circ} $$

Теперь имеем систему из двух уравнений:

$$\begin{cases} 2\alpha + \angle C = 170^{\circ} \\ \alpha + \angle C = 60^{\circ} \end{cases}$$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$ (2\alpha + \angle C) - (\alpha + \angle C) = 170^{\circ} - 60^{\circ} $$ $$ \alpha = 110^{\circ} $$

Итак, угол CDE равен 110°.

Ответ: 110°