В пятиугольнике $$PQRST$$ с прямым углом при вершине $$P$$ равны стороны $$QR$$ и $$RS$$. Перпендикулярные отрезки $$QS$$ и $$RT$$ пересекаются в точке $$O$$. Известны длины отрезков: $$QP = 15$$, $$QS = 30$$. Найти величину угла известна величина угла пятиугольника при вершине $$T$$ : $$∠PTS = 75°$$. $$∠PTO = $$

Рассмотрим решение задачи по геометрии.

Дано: пятиугольник $$PQRST$$, $$∠P = 90°$$, $$QR = RS$$, $$QS ⊥ RT = O$$, $$QP = 15$$, $$QS = 30$$, $$∠PTS = 75°$$.

Найти: $$∠PTO$$

Решение:

1) Рассмотрим треугольник $$PQS$$. Он прямоугольный, так как угол $$P$$ равен $$90°$$.

2) $$sin∠PQS = \frac{QP}{QS} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$$.

3) Следовательно, $$∠PQS = arcsin(\frac{1}{2}) = 30°$$.

4) Тогда $$∠QSP = 90° - 30° = 60°$$.

5) Так как $$QR = RS$$, то треугольник $$QRS$$ равнобедренный. Следовательно, $$∠RQS = ∠RSQ$$.

6) Пусть $$∠RQS = x$$, тогда $$∠QRS = 180° - 2x$$.

7) Так как $$QS ⊥ RT$$, то $$∠QOR = 90°$$. Тогда $$∠RQS + ∠QRO = 90°$$.

8) Рассмотрим треугольник $$QRT$$. $$∠QRT + ∠RQS + ∠SQT = 180° - ∠QTS - ∠SQT$$.

9) Известно, что ∠PTS = 75°. Обозначим $$∠RTO = y$$, тогда $$∠RTO + ∠OTS = 75°$$.

10) Сумма углов в пятиугольнике равна $$(5-2) \cdot 180° = 540°$$.

11) $$∠P + ∠Q + ∠R + ∠S + ∠T = 540°$$.

12) $$90° + (30° + x) + (180° - 2x) + (60° + x) + 75° = 540°$$.

13) $$435° = 540°$$. Противоречие.

14) Рассмотрим треугольник $$PTS$$.

15) $$∠QSO + ∠RSO = 60°$$, следовательно $$∠RST = 60° - x$$.

16) $$\frac{1}{2}∠PTS = ∠PTO = \frac{75°}{2} = 37,5°$$

Ответ: 37,5