1. В равнобедренном ? АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 40 см, а периметр ? АВМ равен 32 см. 2. В равнобедренном ? АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр? АВС равен 56 см, а периметр? АВМ равен 42см. 3. В ?АВС стороны АВ и ВС равны, угол В равен 76° Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке М. Найдите величину угла АМС. 4. В ?АВС стороны АВ и ВС равны, угол В равен 88°. Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке М. Найдите величину угла AMC.

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC, в котором проведена медиана AM. Периметр треугольника ABC равен 40 см, а периметр треугольника ABM равен 32 см. Нужно найти медиану AM.

Обозначим стороны треугольника ABC: AB = AC = x, BC = y. Тогда периметр треугольника ABC можно записать как:

$$P_{ABC} = AB + AC + BC = x + x + y = 2x + y = 40$$

Т.к. AM - медиана, то BM = MC = y/2. Периметр треугольника ABM можно записать как:

$$P_{ABM} = AB + BM + AM = x + \frac{y}{2} + AM = 32$$

Выразим y из первого уравнения:

$$y = 40 - 2x$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$x + \frac{40 - 2x}{2} + AM = 32$$ $$x + 20 - x + AM = 32$$ $$AM = 32 - 20 = 12$$

Следовательно, медиана AM равна 12 см.

Ответ: 12 см

2. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC, в котором проведена медиана AM. Периметр треугольника ABC равен 56 см, а периметр треугольника ABM равен 42 см. Нужно найти медиану AM.

Обозначим стороны треугольника ABC: AB = AC = x, BC = y. Тогда периметр треугольника ABC можно записать как:

$$P_{ABC} = AB + AC + BC = x + x + y = 2x + y = 56$$

Т.к. AM - медиана, то BM = MC = y/2. Периметр треугольника ABM можно записать как:

$$P_{ABM} = AB + BM + AM = x + \frac{y}{2} + AM = 42$$

Выразим y из первого уравнения:

$$y = 56 - 2x$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$x + \frac{56 - 2x}{2} + AM = 42$$ $$x + 28 - x + AM = 42$$ $$AM = 42 - 28 = 14$$

Следовательно, медиана AM равна 14 см.

Ответ: 14 см

3. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, угол B равен 76°. Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке M. Нужно найти величину угла AMC.

Т.к. AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный. Следовательно, углы при основании AC равны: ∠A = ∠C. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

$$∠A + ∠B + ∠C = 180°$$ $$∠A + 76° + ∠A = 180°$$ $$2∠A = 180° - 76° = 104°$$ $$∠A = ∠C = \frac{104°}{2} = 52°$$

Т.к. AM и CM - биссектрисы, то они делят углы A и C пополам:

$$∠MAC = \frac{∠A}{2} = \frac{52°}{2} = 26°$$ $$∠MCA = \frac{∠C}{2} = \frac{52°}{2} = 26°$$

Сумма углов в треугольнике AMC равна 180°:

$$∠AMC + ∠MAC + ∠MCA = 180°$$ $$∠AMC + 26° + 26° = 180°$$ $$∠AMC = 180° - 26° - 26° = 128°$$

Следовательно, угол AMC равен 128°.

Ответ: 128°

4. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, угол B равен 88°. Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке M. Нужно найти величину угла AMC.

Т.к. AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный. Следовательно, углы при основании AC равны: ∠A = ∠C. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

$$∠A + ∠B + ∠C = 180°$$ $$∠A + 88° + ∠A = 180°$$ $$2∠A = 180° - 88° = 92°$$ $$∠A = ∠C = \frac{92°}{2} = 46°$$

Т.к. AM и CM - биссектрисы, то они делят углы A и C пополам:

$$∠MAC = \frac{∠A}{2} = \frac{46°}{2} = 23°$$ $$∠MCA = \frac{∠C}{2} = \frac{46°}{2} = 23°$$

Сумма углов в треугольнике AMC равна 180°:

$$∠AMC + ∠MAC + ∠MCA = 180°$$ $$∠AMC + 23° + 23° = 180°$$ $$∠AMC = 180° - 23° - 23° = 134°$$

Следовательно, угол AMC равен 134°.

Ответ: 134°