4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике МОР на гипотенузе МР отмечена точка К. Известно, что ∠ОКР в 4 раза больше, чем ∠МОК. Найдите углы треугольника МОК.

Пусть ∠МОК = $$x$$, тогда ∠ОКР = $$4x$$. Так как треугольник MOP равнобедренный и прямоугольный, то ∠M = ∠P = 45°.

∠MOK + ∠POK = 180° (смежные углы).

∠POK = 180° - ∠MOK = 180° - $$x$$.

В треугольнике OКР: ∠P + ∠POK + ∠OKP = 180° (сумма углов треугольника).

45° + (180° - $$x$$) + 4$$x$$ = 180°

45° + 3$$x$$ = 0

3$$x$$ = -45°

$$x$$ = -15° (что не возможно, следовательно ∠ОКР не может быть в 4 раза больше ∠МОК, возможно опечатка в условии)

Предположим, ∠МОК в 4 раза больше, чем ∠ОКР, тогда ∠МОК = $$4x$$, ∠ОКР = $$x$$.

∠POK = 180° - 4$$x$$.

В треугольнике OКР: ∠P + ∠POK + ∠OKP = 180° (сумма углов треугольника).

45° + (180° - 4$$x$$) + $$x$$ = 180°

45° - 3$$x$$ = 0

3$$x$$ = 45°

$$x$$ = 15°

∠ОКР = 15°, ∠МОК = 4 × 15° = 60°.

В треугольнике МОК: ∠М = 45°, ∠МОК = 60°, ∠ОКМ = 180° - (45° + 60°) = 75°.

Ответ: ∠М = 45°, ∠МОК = 60°, ∠ОКМ = 75°.