В равнобедренном треугольнике \(ABC\) медианы \(AM\) и \(BK\) пересекаются в точке \(P\). Найдите расстояние от точки \(P\) до вершины \(B\), если \(AB = BC = 15\), \(AC = 24\).

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) \(AB = BC = 15\), \(AC = 24\). Медианы \(AM\) и \(BK\) пересекаются в точке \(P\). Найдем расстояние от точки \(P\) до вершины \(B\).

1. Найдем высоту \(BH\) треугольника \(ABC\). Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, то высота \(BH\) является и медианой. Значит, \(AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12\).

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(ABH\):

$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$$

2. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, \(BP : PK = 2 : 1\). Тогда \(BP = \frac{2}{3} BK\).

Так как в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой, то \(BK\) совпадает с \(BH\). Тогда \(BP = \frac{2}{3} BH = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\).

Ответ: 6