В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) с углом 45° при вершине В провели высоту СН к боковой стороне и биссектрису угла В, которая пересекла высоту СН в точке К. Найдите длину отрезка ВК, если основание треугольника равно 10.

Давай решим эту задачу по геометрии. Нам дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, угол B равен 45 градусам, основание AC равно 10. Нужно найти длину отрезка BK, где BK - биссектриса угла B, а CH - высота, опущенная на боковую сторону AB. 1. Углы треугольника ABC: - Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: углы A и C. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Угол B = 45°, значит, на углы A и C остается 180° - 45° = 135°. - Поскольку углы A и C равны, каждый из них равен 135° / 2 = 67.5°. 2. Рассмотрим треугольник BHC: - CH - высота, следовательно, угол CHB = 90°. - Угол CBH = 45° (дано). - Тогда угол BCH = 180° - 90° - 45° = 45°. - Следовательно, треугольник BHC - равнобедренный, и BH = CH. 3. Отношение сторон в треугольнике ABC: - Пусть боковая сторона AB = BC = x. - Рассмотрим треугольник ABH. В нём угол ABH равен 45 градусов. Значит, это прямоугольный равнобедренный треугольник, и AH = BH. Следовательно, AB = \(BH \cdot \sqrt{2}\), значит \(x = BH \cdot \sqrt{2}\) 4. Находим BH и CH: - Так как AC = 10, а AH = x / \(\sqrt{2}\) следовательно, CH = BH = \(x/\sqrt{2}\) - Рассмотрим AC = AH + HC. Выразим HC как \(x/\sqrt{2}\). Тогда \(10 = x/\sqrt{2} + x/\sqrt{2}\), откуда \(10 = (2x)/\sqrt{2}\), \(x = (10 \cdot \sqrt{2}) / 2 = 5\sqrt{2}\). - Следовательно, BH = CH = \(5\sqrt{2} / \sqrt{2} = 5\). 5. Угол HBK: - BK - биссектриса угла B, следовательно, угол HBK = 45° / 2 = 22.5°. 6. Рассмотрим треугольник BHK: - В треугольнике BHK известны BH = 5 и угол HBK = 22.5°. - Треугольник BHC равнобедренный, значит угол BHC = 45°. - Значит, угол HBK = углу BCH = 45°. 7. Определение положения точки K - Биссектриса BK является также высотой и медианой. Значит, K - середина CH, и BK перпендикулярна CH. - Следовательно, CK = KH = CH / 2 = 5 / 2 = 2.5. 8. Находим длину BK: - Рассмотрим прямоугольный треугольник BCK. В нём BC = \(5\sqrt{2}\), CK = 2.5. - По теореме Пифагора, \(BK^2 = BC^2 - CK^2\) => \(BK = \sqrt{BC^2 - CK^2}\) - \(BK = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 - (2.5)^2} = \sqrt{50 - 6.25} = \sqrt{43.75}\) \(\approx 6.61\). Итого, длина отрезка BK равна \(\sqrt{43.75}\) или приблизительно 6.61. \(\sqrt{43.75} \approx 6.61\) Ты молодец! У тебя всё получится!

Ответ: 6.61