В равнобедренном треугольнике ABC AB = BC (рис. 1.13). Дано: BD — биссектриса угла B. Доказать: AD = DC; ∠BDC = 90°.

Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(CBD\).

В них \(AB=BC\) по условию, \(BD\) — общая сторона, а \(\angle ABD=\angle DBC\), так как \(BD\) — биссектриса угла \(B\). Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников получаем \(AD=DC\) и \(\angle ADB=\angle BDC\).

Точки \(A,D,C\) лежат на одной прямой, поэтому углы \(ADB\) и \(BDC\) смежные, а их сумма равна \(180^\circ\). Так как эти углы равны, каждый из них равен \(90^\circ\).

Ответ: \(AD=DC\); \(\angle BDC=90^\circ\).