В равнобедренном треугольнике ABC через вершины основания C и B и точку N, которая является серединой высоты, проведённой к основанию, проведены прямые CD и BE (D ∈ AB; E ∈ AC). Найти площадь треугольника ABC, если площадь четырёхугольника AEND равна 3.

1. Обозначим половину основания через a, а высоту — через h. Выберем координаты: \(A(0,h)\), \(B(-a,0)\), \(C(a,0)\). Поскольку N — середина высоты, \(N(0,h/2)\).

2. Прямые CN и AB пересекаются в D. Из уравнений этих прямых получаем \(D(-a/3,2h/3)\). По симметрии \(E(a/3,2h/3)\). Значит, \(DE=2a/3\).

3. Разобьём четырёхугольник AEND на треугольники AED и END. Высота к основанию DE для первого равна \(h/3\), для второго — \(h/6\). Поэтому

   \(S_{AED}=\frac12\cdot\frac{2a}{3}\cdot\frac{h}{3}=\frac{ah}{9}\),

   \(S_{END}=\frac12\cdot\frac{2a}{3}\cdot\frac{h}{6}=\frac{ah}{18}\).

   Следовательно, \(S_{AEND}=\frac{ah}{9}+\frac{ah}{18}=\frac{ah}{6}\).

4. Площадь ABC равна \(\frac12\cdot 2a\cdot h=ah\), то есть в 6 раз больше площади AEND. Тогда \(S_{ABC}=6\cdot3=18\).

Ответ: 18.