В равнобедренном треугольнике ABC cos ∠A = √7/4, а высота, проведённая к основанию АС, равна 6. Найдите сторону АВ.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

• Пусть высота, проведенная к основанию AC, будет BH. Тогда BH = 6.
• Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC, и высота BH является медианой, то есть AH = HC.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём cos ∠A = AH / AB = √7/4.
• Выразим AH через AB: AH = AB * cos ∠A = AB * (√7/4).
• Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABH: AB² = AH² + BH².
• Подставим известные значения: AB² = (AB * (√7/4))² + 6².
• AB² = AB² * (7/16) + 36.
• AB² - AB² * (7/16) = 36.
• AB² * (1 - 7/16) = 36.
• AB² * (9/16) = 36.
• AB² = 36 * (16/9).
• AB² = 4 * 16.
• AB = \(\sqrt{4 * 16}\).
• AB = 2 * 4.
• AB = 8.

Ответ: 8