В равнобедренном треугольнике ABC основание AC = 24, высота ВК, проведённая к основанию, равна 5. Точка Р — середина стороны ВС. Найдите длину отрезка КР.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC высота ВК, проведённая к основанию, также является медианой. Это означает, что K — середина AC.

1. Так как AC = 24, то AK = KC = \( \frac{24}{2} = 12 \).
2. Высота ВК равна 5.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BKC. Катеты равны BK = 5 и KC = 12.
4. По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы BC: \[ BC^2 = BK^2 + KC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \] \[ BC = \sqrt{169} = 13 \]
5. Точка P — середина стороны BC. Следовательно, BP = PC = \( \frac{13}{2} = 6.5 \).
6. Рассмотрим треугольник BKC. BK — высота, следовательно, угол BKC равен 90 градусам.
7. KP — это медиана, проведённая из вершины прямого угла K в прямоугольном треугольнике, если бы он был. Но BKC — прямоугольный треугольник.
8. KP является медианой в прямоугольном треугольнике BKC, проведённой к гипотенузе BC.
9. Длина медианы, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине длины гипотенузы.
10. Следовательно, KP = \( \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6.5 \).

Ответ: 6.5