В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB угол С в 4 раза меньше угла А. Найдите величину внешнего угла при вершине В.

Решение:

Давай разберемся с углами в треугольнике:

1. Основание треугольника — AB. Это значит, что боковые стороны AC и BC равны, и углы при основании тоже равны: \(\angle\) A = \(\angle\) B.
2. Угол C в 4 раза меньше угла A. Обозначим угол A как x. Тогда угол B тоже равен x, а угол C равен x/4.
3. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Запишем уравнение:\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]\[ x + x + \frac{x}{4} = 180^{\circ} \]
4. Решаем уравнение:\[ 2x + \frac{x}{4} = 180^{\circ} \]\[ \frac{8x + x}{4} = 180^{\circ} \]\[ \frac{9x}{4} = 180^{\circ} \]\[ 9x = 180^{\circ} \times 4 \]\[ 9x = 720^{\circ} \]\[ x = \frac{720^{\circ}}{9} = 80^{\circ} \]
5. Итак, угол A = 80°, угол B = 80°.
6. Нам нужен внешний угол при вершине B. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.
7. Внешний угол при вершине B = \(\angle\) A + \(\angle\) C.\[ \angle C = \frac{x}{4} = \frac{80^{\circ}}{4} = 20^{\circ} \]\[ \text{Внешний угол при B} = 80^{\circ} + 20^{\circ} = 100^{\circ} \]
8. Или как смежный угол: Внешний угол при B + угол B = 180°. \[ 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \]

Ответ: 100°