В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на основании отмечены точки D и E так, что AD = CE. Докажите, что BD = BE.

Обозначим через M середину основания AC. Тогда \(AM=CM\). Поскольку D и E лежат на отрезке AC и \(AD=CE\), точки D и E симметричны относительно M: \(MD=ME\).

В равнобедренном треугольнике медиана BM, проведённая к основанию, перпендикулярна ему. Поэтому \(\angle BMD=\angle BME=90^\circ\). Кроме того, BM — общая сторона.

Прямоугольные треугольники BMD и BME равны по двум катетам: \(BM=BM\) и \(MD=ME\). Значит, их гипотенузы равны: \(BD=BE\).