В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD. На сторонах AB и CB отмечены соответственно точки E и F так, что AE = CF. Докажите: a) △BDE = △BDF; б) △ADE = △CDF.

a) Докажем, что △BDE = △BDF

• В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медиана BD также является биссектрисой и высотой.
• Так как AE = CF, и AB = BC, то BE = AB - AE = BC - CF = BF.
• Рассмотрим треугольники BDE и BDF:
• BD - общая сторона, BE = BF (доказано выше), ∠EBD = ∠FBD (так как BD - биссектриса угла ABC).

Следовательно, △BDE = △BDF по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

б) Докажем, что △ADE = △CDF

• Рассмотрим треугольники ADE и CDF:
• AE = CF (по условию), ∠A = ∠C (как углы при основании равнобедренного треугольника), AD = DC (так как BD - медиана).

Следовательно, △ADE = △CDF по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).