В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АВ угол C в 4 раза больше угла А. Найдите величину внешнего угла при вершине В.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB углы при основании равны, то есть \( \angle A = \angle B \).

По условию задачи, угол C в 4 раза больше угла A: \( \angle C = 4 \angle A \).

Сумма углов треугольника равна 180 градусам: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).

Подставим известные соотношения в уравнение:

\( \angle A + \angle A + 4 \angle A = 180^{\circ} \)

\( 6 \angle A = 180^{\circ} \)

\( \angle A = \frac{180^{\circ}}{6} \)

\( \angle A = 30^{\circ} \).

Значит, \( \angle B = 30^{\circ} \).

Внешний угол при вершине B равен сумме двух других углов треугольника (углов A и C), либо 180 градусов минус внутренний угол B.

Вычислим внешний угол при вершине B через сумму углов A и C:

\( \angle C = 4 \angle A = 4 \times 30^{\circ} = 120^{\circ} \).

Внешний угол при вершине B = \( \angle A + \angle C = 30^{\circ} + 120^{\circ} = 150^{\circ} \).

Или, вычислим внешний угол при вершине B через смежный угол:

Внешний угол при вершине B = \( 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \).

Ответ: 150^{\(\circ\)}.