14. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC угол A равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины B, равна 13. Найдите длину стороны BC. Запишите решение и ответ.

Решение: Пусть дана равнобедренный треугольник ABC, в котором угол A = 120°, а высота, проведенная из вершины B, равна 13. Нужно найти длину стороны BC. 1. Проведём высоту BH к стороне AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём угол BAH = 120°/2 = 60°, так как в равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой. Угол ABH = 90° - 60° = 30°. 2. В прямоугольном треугольнике ABH против угла в 30° лежит катет AH, равный половине гипотенузы AB. Обозначим AH = x, тогда AB = 2x. По теореме Пифагора: (AH^2 + BH^2 = AB^2) (x^2 + 13^2 = (2x)^2) (x^2 + 169 = 4x^2) (3x^2 = 169) (x^2 = \frac{169}{3}) (x = \frac{13}{\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{3}}{3}) Таким образом, AH = \(\frac{13\sqrt{3}}{3}\) 3. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AC = 2 * AH = \(\frac{26\sqrt{3}}{3}\). Так как AH это половина основания AC. 4. Рассмотрим треугольник ABC. Высота, проведенная из B, перпендикулярна AC. Найдём BC по теореме косинусов. (BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(A)) (BC^2 = (\frac{26\sqrt{3}}{3})^2 + (\frac{26\sqrt{3}}{3})^2 - 2 * (\frac{26\sqrt{3}}{3}) * (\frac{26\sqrt{3}}{3}) * cos(120°)) (BC^2 = 2 * (\frac{26\sqrt{3}}{3})^2 - 2 * (\frac{26\sqrt{3}}{3})^2 * (-\frac{1}{2})) (BC^2 = 2 * (\frac{26\sqrt{3}}{3})^2 + (\frac{26\sqrt{3}}{3})^2) (BC^2 = 3 * (\frac{26\sqrt{3}}{3})^2) (BC^2 = 3 * \frac{26^2 * 3}{3^2}) (BC^2 = \frac{26^2 * 3}{3}) (BC^2 = 26^2) (BC = 26) Ответ: **26**