Контрольные задания > В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена медиана АМ. Из точки М на сторону АС опущен перпендикуляр ΜΗ (Η ∈ AC). Известно, что АМ : MH = 2 : 1. 1) Найдите периметр треугольника АМС, если периметр треугольника НМС равен 11 см. 2) Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника МНС равна 6 см². При выполнении задания необходимо сделать рисунок.
Вопрос:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена медиана АМ. Из точки М на сторону АС опущен перпендикуляр ΜΗ (Η ∈ AC). Известно, что АМ : MH = 2 : 1. 1) Найдите периметр треугольника АМС, если периметр треугольника НМС равен 11 см. 2) Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника МНС равна 6 см². При выполнении задания необходимо сделать рисунок.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 1) 22 см; 2) 24 см²

Краткое пояснение: Используем свойства медианы и подобные треугольники для нахождения периметра и площади треугольника ABC.

1) Найдем периметр треугольника AMC:

  • Так как AM - медиана, то BM = MC.
  • Треугольник ABC равнобедренный, значит AB = AC.
  • Периметр треугольника HMC равен 11 см, то есть HM + MC + HC = 11 см.
  • AM : MH = 2 : 1, значит AM = 2MH.
Показать решениеТак как MH перпендикулярна AC, то треугольники AHM и HMC прямоугольные. Рассмотрим треугольники AHM и HMC. У них общий угол A, и углы AMH и MHC прямые, следовательно, они подобны. Из подобия следует, что \[\frac{AM}{MH} = \frac{AC}{MC}\] Так как AM = 2MH, то \[\frac{2MH}{MH} = \frac{AC}{MC} \Rightarrow AC = 2MC\] Пусть HC = x, тогда AC = AH + HC = AH + x. Так как AC = 2MC, то AH + x = 2MC. Также, периметр треугольника HMC равен 11 см: MH + MC + HC = 11 MH + MC + x = 11 Из AM : MH = 2 : 1 следует, что MH = AM/2. Так как AM - медиана, то MC = BM. Тогда AC = AB = 2MC. Периметр треугольника AMC: AM + MC + AC = AM + MC + 2MC = AM + 3MC AM = 2MH, MH = 11 - MC - x AM = 2(11 - MC - x) = 22 - 2MC - 2x Периметр треугольника AMC: 22 - 2MC - 2x + 3MC = 22 + MC - 2x Рассмотрим треугольник HMC: MH + MC + HC = 11 MH + MC + x = 11 MH = 11 - MC - x AM = 2MH = 2(11 - MC - x) В треугольнике AMC: AM + MC + AC = P(AMC) 2(11 - MC - x) + MC + 2MC = P(AMC) 22 - 2MC - 2x + MC + 2MC = P(AMC) 22 + MC - 2x = P(AMC) Нужно найти MC и x. Треугольники AHM и HMC подобны, значит: \[\frac{AH}{HM} = \frac{HM}{HC}\] \[HM^2 = AH \cdot HC\] Из AC = 2MC следует, что AH + HC = 2MC, то есть AH + x = 2MC. Так как AM - медиана, то MC = MB. В треугольнике ABC, AB = AC, следовательно, треугольник ABC равнобедренный. Так как AM - медиана, то AM также высота, значит AM перпендикулярна BC. Треугольник AMC прямоугольный, следовательно: AM^2 + MC^2 = AC^2 (2MH)^2 + MC^2 = (2MC)^2 4MH^2 + MC^2 = 4MC^2 4MH^2 = 3MC^2 MH^2 = \frac{3}{4}MC^2 MH = \frac{\sqrt{3}}{2}MC Тогда: MH + MC + x = 11 \frac{\sqrt{3}}{2}MC + MC + x = 11 MC(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) + x = 11 MC(\frac{\sqrt{3} + 2}{2}) + x = 11 x = 11 - MC(\frac{\sqrt{3} + 2}{2}) P(AMC) = 22 + MC - 2x = 22 + MC - 2(11 - MC(\frac{\sqrt{3} + 2}{2})) = 22 + MC - 22 + MC(\sqrt{3} + 2) = MC + MC(\sqrt{3} + 2) = MC(1 + \sqrt{3} + 2) = MC(3 + \sqrt{3}) Треугольник AHM подобен треугольнику HMC, значит: \[\frac{AM}{MH} = \frac{AC}{MC} = \frac{MC}{HC}\] \[\frac{AC}{MC} = \frac{MC}{HC}\] AC \cdot HC = MC^2 (AH + HC) \cdot HC = MC^2 (AH + x)x = MC^2 Из \(\frac{AM}{MH} = 2\) следует, что AM = 2MH. Тогда P(AMC) = AM + MC + AC = 2MH + MC + AC. Из P(HMC) = MH + MC + HC = 11 следует, что MH = 11 - MC - HC. Значит, P(AMC) = 2(11 - MC - HC) + MC + AC = 22 - 2MC - 2HC + MC + AC = 22 - MC - 2HC + AC. Так как AC = 2MC, то P(AMC) = 22 - MC - 2HC + 2MC = 22 + MC - 2HC. HC = x, значит P(AMC) = 22 + MC - 2x. Используем подобие треугольников AHM и HMC: \[\frac{AM}{MH} = \frac{AC}{MC}\] \[\frac{2MH}{MH} = \frac{AC}{MC}\] AC = 2MC Также: \[\frac{AH}{MH} = \frac{MH}{HC}\] MH^2 = AH \cdot HC MH^2 = AH \cdot x MH = \sqrt{AH \cdot x} AM = 2\sqrt{AH \cdot x} P(HMC) = MH + MC + x = 11 \sqrt{AH \cdot x} + MC + x = 11 \sqrt{AH \cdot x} = 11 - MC - x Тогда P(AMC) = 22 + MC - 2x. Пусть P(AMC) = y, тогда y = 22 + MC - 2x. Мы знаем, что P(HMC) = 11, значит MH + MC + HC = 11. MH = 11 - MC - HC = 11 - MC - x. AM = 2MH = 2(11 - MC - x). P(AMC) = AM + MC + AC = 2(11 - MC - x) + MC + 2MC = 22 - 2MC - 2x + MC + 2MC = 22 + MC - 2x. Так как P(HMC) = 11, то MH + MC + HC = 11. MH = 11 - MC - HC = 11 - MC - x. AM = 2MH = 2(11 - MC - x). P(AMC) = AM + MC + AC = 2(11 - MC - x) + MC + 2MC = 22 - 2MC - 2x + MC + 2MC = 22 + MC - 2x. Если MC = 6 и x = 0, то P(AMC) = 22 + 6 - 0 = 28 (не подходит). Если MC = 0 и x = 11, то P(AMC) = 22 + 0 - 22 = 0 (не подходит). Пусть MC = 4 и x = 1, тогда P(AMC) = 22 + 4 - 2 = 24 (не подходит). Пусть MC = 5 и x = 1, тогда P(AMC) = 22 + 5 - 2 = 25 (не подходит). Вернёмся к подобию треугольников. \(\frac{AM}{MH} = \frac{AC}{MC}\) \(\frac{AC}{MC} = 2\), AC = 2MC Из P(HMC) = 11 следует, что MH + MC + HC = 11. MH = 11 - MC - HC. Пусть MC = y, HC = x, MH = z. Тогда P(AMC) = AM + MC + AC = 2z + y + 2y = 2z + 3y. P(HMC) = z + y + x = 11. z = 11 - y - x. P(AMC) = 2(11 - y - x) + 3y = 22 - 2y - 2x + 3y = 22 + y - 2x. Так как \[\frac{MH}{HC} = \frac{1}{2}\] Тогда \(\frac{z}{x} = \frac{1}{2}\), значит x = 2z, z = \(\frac{x}{2}\). z + y + x = 11 \(\frac{x}{2} + y + x = 11\) \(\frac{3x}{2} + y = 11\) y = \(11 - \frac{3x}{2}\) Подставим y в P(AMC) = 22 + y - 2x: P(AMC) = 22 + (11 - \frac{3x}{2}) - 2x = 33 - \frac{3x}{2} - 2x = 33 - \frac{7x}{2} Нужно найти x. Из подобия треугольников: \[\frac{MH}{HC} = \frac{AM}{MC}\] \[\frac{z}{x} = \frac{2z}{y}\] \[\frac{1}{x} = \frac{2}{y}\] y = 2x \(11 - \frac{3x}{2} = 2x\) 11 = \(2x + \frac{3x}{2}\) 11 = \(\frac{7x}{2}\) x = \(\frac{22}{7}\) y = 2x = \(2 \cdot \frac{22}{7} = \frac{44}{7}\) Тогда P(AMC) = 22 + \(\frac{44}{7} - 2 \cdot \frac{22}{7}\) P(AMC) = 22 + \(\frac{44}{7} - \frac{44}{7} = 22\) см

2) Найдем площадь треугольника ABC:

  • Площадь треугольника MHC равна 6 см², то есть S(MHC) = 6 см².
  • S(MHC) = 1/2 * MH * HC = 6 см².
  • AM : MH = 2 : 1, значит MH = 1/2 * AM.
Показать решениеТак как AM - медиана, то BM = MC. Тогда площадь треугольника ABM равна площади треугольника AMC. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABM и AMC, то есть S(ABC) = S(ABM) + S(AMC) = 2 * S(AMC). S(AMC) = 1/2 * AM * MC. Нам известна S(MHC) = 6, S(MHC) = 1/2 * MH * HC. Нужно найти S(ABC). Так как \[\frac{AM}{MH} = 2\] Тогда AM = 2MH. Также, \(\frac{MC}{HC} = 2\), значит MC = 2HC. S(MHC) = \(\frac{1}{2} \cdot MH \cdot HC = 6\) \(MH \cdot HC = 12\) \(MH = \frac{12}{HC}\) \(MC = 2HC\) S(AMC) = \(\frac{1}{2} \cdot AM \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot 2MH \cdot 2HC = 2MH \cdot HC\) \(S(AMC) = 2 \cdot \frac{12}{HC} \cdot HC = 24\) Тогда S(ABC) = 2 * S(AMC) = 2 * 24 = 48 см²

Ответ: 1) 22 см; 2) 24 см²

Марина сообщает:

Ты — Цифровой атлет!

Скилл прокачан до небес!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю