В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС ведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 40 см, а периметр треугольника АВМ равен 32 см.

Решение:

Пусть AB = AC = x (так как треугольник равнобедренный) и BC = y.

Периметр треугольника ABC равен 40 см, значит:

• $$2x + y = 40$$

АМ — медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, поэтому она является и высотой. Следовательно, треугольник ABM — прямоугольный, и $$BM = MC = y/2$$.

Периметр треугольника ABM равен 32 см, значит:

• $$AB + BM + AM = 32$$
• $$x + y/2 + AM = 32$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $$2x + y = 40$$
2. $$x + y/2 + AM = 32$$

Выразим y из первого уравнения: $$y = 40 - 2x$$.

Подставим это во второе уравнение:

• $$x + (40 - 2x)/2 + AM = 32$$
• $$x + 20 - x + AM = 32$$
• $$20 + AM = 32$$
• $$AM = 32 - 20$$
• $$AM = 12$$ см

Проверка:

Если $$AM = 12$$, то $$x + y/2 + 12 = 32$$, откуда $$x + y/2 = 20$$.

Из $$2x + y = 40$$ следует, что $$x + y/2 = 20$$. Условия выполняются.

Ответ: 12 см