В равнобедренном треугольнике ABC точки K и M являются серединами боковых сторон AB и BC соответственно. BD — медиана треугольника. Докажите, что \(\triangle\) AKD = \(\triangle\) CMD.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AB = BC \), \( K \) — середина \( AB \), \( M \) — середина \( BC \), \( BD \) — медиана.

Доказать: \( \triangle AKD = \triangle CMD \).

Доказательство:

1. Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный с \( AB = BC \), и \( K \) — середина \( AB \), \( M \) — середина \( BC \), то \( AK = \frac{1}{2} AB \) и \( CM = \frac{1}{2} BC \). Следовательно, \( AK = CM \).
2. Так как \( BD \) — медиана, то \( AD = DC \).
3. В равнобедренном треугольнике \( \triangle ABC \) углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).
4. Рассмотрим треугольники \( \triangle AKD \) и \( \triangle CMD \):
   • \( AK = CM \) (по доказанному в п.1).
   • \( \angle KAD = \angle MCD \) (т.к. \( \angle BAC = \angle BCA \) по доказанному в п.3).
   • \( AD = CD \) (по доказанному в п.2).
5. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle AKD = \triangle CMD \).

Что и требовалось доказать.