В равнобедренном треугольнике ABC величина угла при вершине В равна 34°. Определи угол между основанием АС и высотой АМ, проведённой к боковой стороне.

Решение:

В равнобедренном треугольнике \( ABC \) с углом при вершине \( \angle B = 34^{\circ} \), углы при основании равны:

\[ \angle A = \angle C = \frac{180^{\circ} - 34^{\circ}}{2} = \frac{146^{\circ}}{2} = 73^{\circ} \]

Высота \( AM \) проведена к боковой стороне \( BC \). В прямоугольном треугольнике \( AMC \), угол \( \angle MAC \) является острым углом.

В прямоугольном треугольнике \( ABM \) (где \( AM \) — высота, то есть \( \angle AMB = 90^{\circ} \)), мы имеем:

\( \angle BAM = 90^{\circ} - \angle ABM \)

Но \( \angle ABM \) не является углом \( \angle B \) (34°), а является частью его, если бы \( AM \) была высотой к основанию.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AMC \). Мы знаем, что \( \angle ACM = 73^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике \( AMC \), \( \angle MAC \) и \( \angle ACM \) являются острыми углами.

\( \angle MAC = 90^{\circ} - \angle ACM \)

Но \( AM \) является высотой, проведённой к боковой стороне \( BC \). Значит, \( \angle AMC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AMB \). \( \angle AMB = 90^{\circ} \).

В треугольнике \( ABC \): \( \angle BAC = \angle BCA = 73^{\circ} \), \( \angle ABC = 34^{\circ} \).

\( AM \) — высота к \( BC \). Значит, \( \angle AMB = 90^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике \( AMB \): \( \angle BAM = 90^{\circ} - \angle ABM = 90^{\circ} - 34^{\circ} = 56^{\circ} \). Это не тот угол, который нам нужен.

Нам нужно найти \( \angle MAC \).

\( \angle BAC = 73^{\circ} \).

\( \angle BAM = 56^{\circ} \) (из прямоугольного \( \triangle AMB \)).

\( \angle MAC = \angle BAC - \angle BAM = 73^{\circ} - 56^{\circ} = 17^{\circ} \).

Другой способ:

В прямоугольном треугольнике \( AMC \), \( \angle AMC = 90^{\circ} \). \( \angle C = 73^{\circ} \).

\( \angle MAC = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - 73^{\circ} = 17^{\circ} \).

Ответ: 17.