В равнобедренном треугольнике АВС AB = BC, ∠B = 112°, AF — биссектриса угла ∠A, AH — высота к стороне BC. Найди градусную меру угла ∠HFA.

Решение:

Давай разберем эту задачу по геометрии вместе! Нам дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, угол B равен 112 градусам, AF — биссектриса угла A, а AH — высота к стороне BC. Наша цель — найти градусную меру угла ∠HFA.

1. Найдем углы при основании AC

   Так как треугольник ABC равнобедренный и AB = BC, углы при основании AC равны. Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Следовательно:

   \[\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = \frac{180^\circ - 112^\circ}{2} = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ\]

2. Найдем угол FAC

   Поскольку AF — биссектриса угла A, она делит угол A пополам:

   \[\angle FAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{34^\circ}{2} = 17^\circ\]

3. Найдем угол AFC

   Теперь рассмотрим треугольник AFC. Сумма углов в этом треугольнике равна 180 градусам. Угол C равен 34 градусам (как угол при основании равнобедренного треугольника ABC). Следовательно:

   \[\angle AFC = 180^\circ - \angle FAC - \angle C = 180^\circ - 17^\circ - 34^\circ = 129^\circ\]

4. Найдем угол HFA

   AH — высота, следовательно, угол AHC прямой и равен 90 градусам. Теперь рассмотрим треугольник AHF. Сумма углов в этом треугольнике равна 180 градусам. Угол AFH является смежным с углом AFC, поэтому:

   \[\angle AFH = 180^\circ - \angle AFC = 180^\circ - 129^\circ = 51^\circ\]

5. Найдем угол FAH

   \[\angle HAC = 90 - 34 = 56\]

   Следовательно угол FAH = 56 - 17 = 39.

6. Найдем угол HFA

   Таким образом, угол HFA равен:

   \[\angle HFA = 180 - 90 - 39 = 51^\circ\]

Ответ: 51

Отлично, ты хорошо справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!