3. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = BC = 40 см, АС = 20 см. На стороне ВС отмечена точка Н так, что ВН : HC = 3 : 1. Найдите АН.

3. Дано: ΔABC, AB = BC = 40 см, AC = 20 см, H ∈ BC, BH : HC = 3 : 1.

Найти: AH.

Решение:

1. BH : HC = 3 : 1, следовательно, BH = 3/4 * BC = 3/4 * 40 см = 30 см, HC = 1/4 * BC = 1/4 * 40 см = 10 см.

2. Рассмотрим ΔAHC. По теореме косинусов, AH² = AC² + HC² - 2 * AC * HC * cos(C).

3. Так как AB = BC, то ∠BAC = ∠BCA. По теореме косинусов, AB² = AC² + BC² - 2 * AC * BC * cos(C).

4. 40² = 20² + 40² - 2 * 20 * 40 * cos(C)

5. 1600 = 400 + 1600 - 1600 * cos(C)

6. 1600 * cos(C) = 400

7. cos(C) = 400/1600 = 1/4

8. AH² = 20² + 10² - 2 * 20 * 10 * (1/4) = 400 + 100 - 100 = 400

9. AH = √400 = 20 см.

Ответ: 20 см