4*. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = BC = 40 см, АС = 20 см. На стороне ВС отмечена точка Н так, что ВH : HC = 3:1. Найдите АН.

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC, AB = BC = 40 см, AC = 20 см. На стороне BC отмечена точка H так, что BH : HC = 3 : 1.

Найдем BH и HC:

$$BH = (3/4) \cdot BC = (3/4) \cdot 40 = 30 \text{ см}$$ $$HC = (1/4) \cdot BC = (1/4) \cdot 40 = 10 \text{ см}$$

По теореме косинусов в треугольнике ABH:

$$AH^2 = AB^2 + BH^2 - 2 \cdot AB \cdot BH \cdot \cos{B}$$

Найдем косинус угла B из треугольника ABC, опустив высоту BD на сторону AC:

$$AD = DC = 1/2 AC = 10 \text{ см}$$ $$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{40^2 - 10^2} = \sqrt{1600 - 100} = \sqrt{1500} = 10\sqrt{15} \text{ см}$$ $$\cos{B} = BD/AB = (10\sqrt{15})/40 = (\sqrt{15})/4$$

Теперь подставим в теорему косинусов для треугольника ABH:

$$AH^2 = 40^2 + 30^2 - 2 \cdot 40 \cdot 30 \cdot (\sqrt{15})/4 = 1600 + 900 - 600\sqrt{15} = 2500 - 600\sqrt{15}$$ $$AH = \sqrt{2500 - 600\sqrt{15}} = \sqrt{100(25 - 6\sqrt{15})} = 10\sqrt{25 - 6\sqrt{15}} \approx 24.49 \text{ см}$$

Ответ: $$AH = 10\sqrt{25 - 6\sqrt{15}} \approx 24.49 \text{ см}$$