В равнобедренном треугольнике АВС боковые стороны АВ = BC = 10, медиана ВМ = √19. Найдите cos ∠BAC.

Решение:

1. Анализ задачи: Нам дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 10. Также известна длина медианы BM = √19. Нужно найти косинус угла BAC.
2. Свойства равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, BM ⊥ AC, и ∠BMA = 90°.
3. Применение теоремы Пифагора: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. По теореме Пифагора: AB² = BM² + AM².
4. Находим AM: Подставляем известные значения: 10² = (√19)² + AM². Получаем: 100 = 19 + AM². Отсюда AM² = 100 - 19 = 81. Следовательно, AM = √81 = 9.
5. Нахождение cos ∠BAC: В прямоугольном треугольнике ABM, косинус угла BAC равен отношению прилежащего катета (AM) к гипотенузе (AB).
6. Расчет: cos ∠BAC = AM / AB = 9 / 10 = 0.9.

Ответ: 0.9