В равнобедренном треугольнике АВС основание АС = 42, высота ВК, проведённая к основанию, равна 20. Точка Р — середина стороны ВС. Найдите длину отрезка КР.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Значит, точка K — середина основания AC.
2. По условию, AC = 42, значит, AK = KC = \( \frac{42}{2} \) = 21.
3. Также по условию, высота BK = 20.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник BKC. По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы BC: \( BC^2 = BK^2 + KC^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 \).
5. \( BC = \sqrt{841} = 29 \).
6. Точка P — середина стороны BC, значит, BP = PC = \( \frac{29}{2} \) = 14.5.
7. Рассмотрим треугольник BKC. BK — высота, значит, \( \angle BKC = 90^{\circ} \).
8. KP — отрезок, соединяющий вершину прямого угла C с серединой гипотенузы BC в треугольнике BKC. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
9. Таким образом, KP = PC = BP = \( \frac{BC}{2} = \frac{29}{2} = 14.5 \).

Ответ: 14.5