4*. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на высоте BD выбрана точка М. Докажите равенство треугольников AMD и CMD.

Для доказательства равенства треугольников (AMD) и (CMD) воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

1. Рассмотрим треугольники (AMD) и (CMD).

2. (AD = CD), так как (BD) — высота, проведенная к основанию (AC) равнобедренного треугольника (ABC), а значит, она является и медианой.

3. (angle ADC = 90^circ), так как (BD) — высота.

4. (MD) — общая сторона для треугольников (AMD) и (CMD).

5. Таким образом, треугольники (AMD) и (CMD) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): (AD = CD), (angle ADC = 90^circ), (MD) — общая сторона.

Ответ: Треугольники AMD и CMD равны, что и требовалось доказать.