В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высота ВН равна 12. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 15.

Решение:

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, высота ВН является также медианой, поэтому Н — середина АС.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН. По теореме Пифагора:

\( AH^2 + BH^2 = AB^2 \)

\( AH^2 + 12^2 = 15^2 \)

\( AH^2 + 144 = 225 \)

\( AH^2 = 225 - 144 = 81 \)

\( AH = \sqrt{81} = 9 \)

Так как Н — середина АС, то \( AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 9 = 18 \).

Площадь треугольника АВС равна:

\( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH \)

\( S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12 = 9 \cdot 12 = 108 \)

Ответ: 108