1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Найдите углы АBD и ADB, ес- ли АВС = 88°. 2. В треугольнике МПК проведена медиана NL. Извест- но, что NL = ML, ZM = 48*, ZK = 42°. Найдите ZMNK и ∠ KNL. 3. Точка D является серединой стороны АВ, точка Е- середина стороны ВС треугольника АВС. Известно, что AD = СЕ. Докажите, что треугольники BDC и ВЕА равны. 4. Внутри равностороннего треугольника KLM взята точка А такая, что АК = AL = АМ. Докажите, что тре- угольники KLA и LMA равны. 2 1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса BD. Найдите углы DBA и BDA, если СВА = 100°. 2. В треугольнике ММК проведена медиана NL. Извест- но, что NL = ML, ZM 55, K ММК и ∠MNL. = 35. Найдите 3. Даны два треугольника MNP и MLP. Точки N и L ле- жат в разных полуплоскостях относительно прямой МР. Известно, что MN = ML, NP = LP. Докажите, что прямые МР и NL перпендикулярны. 4. Внутри равностороннего треугольника KLM взята точка С такая, что СК = CL = СМ. Докажите, что тре- угольники LCM и КСМ р

Выполним задания.

1

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. BD - медиана, проведенная к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой и биссектрисой.

   Угол \( \angle ABC = 88^{\circ} \). Так как BD - биссектриса, то угол \( \angle ABD = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 88^{\circ} = 44^{\circ} \).

   Так как BD - высота, то угол \( \angle ADB = 90^{\circ} \).

   Ответ: \( \angle ABD = 44^{\circ} \), \( \angle ADB = 90^{\circ} \)

2. Рассмотрим треугольник MNK, в котором NL - медиана и \( NL = ML \). Это означает, что треугольник MNL - равнобедренный, и углы при его основании равны: \( \angle MNL = \angle LMN = 48^{\circ} \).

   Сумма углов в треугольнике MNK равна \( 180^{\circ} \), следовательно, угол \( \angle MNP = 180^{\circ} - \angle M - \angle K = 180^{\circ} - 48^{\circ} - 42^{\circ} = 90^{\circ} \).

   Так как \( \angle MNL = \angle M \), то угол \( \angle KNL = \angle MNK - \angle MNL = 90^{\circ} - 48^{\circ} = 42^{\circ} \).

   Ответ: \( \angle MNK = 90^{\circ} \), \( \angle KNL = 42^{\circ} \)

3. В треугольнике ABC точка D - середина стороны AB, точка E - середина стороны BC, и \( AD = CE \). Нужно доказать, что треугольники BDC и BEA равны.

   Так как \( AD = CE \) и \( D \) - середина \( AB \), то \( BD = AB - AD \). Аналогично, так как \( E \) - середина \( BC \), то \( BE = BC - CE \). Поскольку \( AD = CE \), то \( BD = BE \).

   Рассмотрим треугольники BDC и BEA. У них сторона BA равна стороне BC (по условию), сторона BD равна стороне BE (доказано выше), и угол B - общий. Следовательно, треугольники BDC и BEA равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

   Что и требовалось доказать.

4. В равностороннем треугольнике KLM взята точка A такая, что \( AK = AL = AM \). Нужно доказать, что треугольники KLA и LMA равны.

   Так как треугольник KLM равносторонний, то \( KL = LM \). Также дано, что \( AK = AL = AM \).

   Рассмотрим треугольники KLA и LMA. У них сторона LA - общая, \( KL = LM \) (так как треугольник KLM равносторонний) и \( AK = AM \) (по условию). Следовательно, треугольники KLA и LMA равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

   Что и требовалось доказать.

2

1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса BD. Найдите углы DBA и BDA, если \( \angle CBA = 100^{\circ} \).

   Так как BD - биссектриса угла \( \angle CBA \), то \( \angle DBA = \frac{1}{2} \angle CBA = \frac{1}{2} \cdot 100^{\circ} = 50^{\circ} \).

   В треугольнике ABD сумма углов равна \( 180^{\circ} \). Угол \( \angle BAD = \frac{1}{2} (180^{\circ} - 100^{\circ}) = 40^{\circ} \). Тогда угол \( \angle BDA = 180^{\circ} - \angle DBA - \angle BAD = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 40^{\circ} = 90^{\circ} \).

   Ответ: \( \angle DBA = 50^{\circ} \), \( \angle BDA = 90^{\circ} \)

2. В треугольнике MNK проведена медиана NL. Известно, что \( NL = ML, \angle M = 55^{\circ}, \angle K = 35^{\circ} \). Найдите \( \angle MNK \) и \( \angle MNL \).

   Сумма углов треугольника MNK равна 180°, поэтому \( \angle MNK = 180^{\circ} - \angle M - \angle K = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 35^{\circ} = 90^{\circ} \).

   Так как \( NL = ML \), то треугольник MNL равнобедренный, и \( \angle MNL = \angle M = 55^{\circ} \).

   Ответ: \( \angle MNK = 90^{\circ} \), \( \angle MNL = 55^{\circ} \)

3. Даны два треугольника MNP и MLP. Точки N и L лежат в разных полуплоскостях относительно прямой MP. Известно, что MN = ML, NP = LP. Докажите, что прямые MP и NL перпендикулярны.

   Так как MN = ML и NP = LP, то треугольники MNP и MLP равны по трем сторонам. Следовательно, \( \angle NMP = \angle LMP \) и \( \angle NPM = \angle LPM \).

   Пусть точка O - точка пересечения MP и NL. Тогда треугольники MNO и MLO равны по двум сторонам (MN = ML, MO - общая) и углу между ними (\( \angle NMO = \angle LMO \)). Следовательно, \( NO = LO \) и \( \angle MON = \angle MOL \).

   Так как \( \angle MON = \angle MOL \) и они смежные, то \( \angle MON = \angle MOL = 90^{\circ} \). Следовательно, прямые MP и NL перпендикулярны.

   Что и требовалось доказать.

4. Внутри равностороннего треугольника KLM взята точка C такая, что СК = CL = СМ. Докажите, что треугольники LCM и КСМ равны.

   Так как треугольник KLM равносторонний, то KL = LM = KM.

   Рассмотрим треугольники LCM и KCM. У них сторона CM - общая, CL = CK (по условию), и LM = KM (так как треугольник KLM равносторонний). Следовательно, треугольники LCM и KCM равны по трем сторонам.

   Что и требовалось доказать.