В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ угол С в 2 раза меньше угла А. Найдите величину внешнего угла при вершине В. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение:

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ углы при основании равны, то есть \( \angle A = \angle B \).

По условию задачи, \( \angle C = \frac{1}{2} \angle A \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \): \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).

Подставим \( \angle B = \angle A \) и \( \angle C = \frac{1}{2} \angle A \) в уравнение:

\[ \angle A + \angle A + \frac{1}{2} \angle A = 180^{\circ} \]

\[ 2.5 \angle A = 180^{\circ} \]

\[ \angle A = \frac{180^{\circ}}{2.5} = 72^{\circ} \]

Значит, \( \angle A = \angle B = 72^{\circ} \).

Внешний угол при вершине В равен сумме двух других углов треугольника (не смежных с ним):

\[ \angle B_{внешний} = \angle A + \angle C \]

Сначала найдём \( \angle C \):

\[ \angle C = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 72^{\circ} = 36^{\circ} \]

Теперь найдём внешний угол при вершине В:

\[ \angle B_{внешний} = 72^{\circ} + 36^{\circ} = 108^{\circ} \]

Альтернативный способ: Внешний угол треугольника равен \( 180^{\circ} \) минус смежный угол.

\[ \angle B_{внешний} = 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \]

Ответ: 108.