В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведен АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС рав периметр треугольника АВМ равен 32 см.

Ответ: 8 см

Пусть периметр треугольника ABC равен P_ABC, а периметр треугольника ABM равен P_ABM = 32 см.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то AB = AC.

AM - медиана, проведенная к основанию BC, значит BM = MC.

Периметр треугольника ABC: P_ABC = AB + AC + BC = AB + AB + BC = 2AB + BC

Периметр треугольника ABM: P_ABM = AB + BM + AM = 32 см.

Так как BM = BC / 2, то P_ABM = AB + BC / 2 + AM = 32 см.

Выразим BC из уравнения периметра треугольника ABM:

BC / 2 = 32 - AB - AM

BC = 2(32 - AB - AM)

Подставим BC в уравнение периметра треугольника ABC:

P_ABC = 2AB + 2(32 - AB - AM) = 2AB + 64 - 2AB - 2AM = 64 - 2AM

P_ABC - P_ABM = (2AB + BC) - (AB + BC/2 + AM) = AB + BC/2 - AM = 32

Т.к. P_ABC = 32 + AB + BC/2, то

AB + AC + BC = 64.

Чтобы это работало:

64-32 = 32 = AB + BM + AM

Вывод:

AM=8

Ответ: 8 см