В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 40 см, а периметр треугольника АВМ равен 32 см.

Решение:

Пусть \( AB = AC = b \) и \( BC = a \). Так как \( AM \) — медиана, то \( BM = MC = \frac{a}{2} \).

Периметр треугольника \( ABC \) равен \( 2b + a = 40 \) см.

Периметр треугольника \( ABM \) равен \( AB + BM + AM = 32 \) см.

Подставим известные значения:

\( b + \frac{a}{2} + AM = 32 \) см.

Умножим второе уравнение на 2:

\( 2b + a + 2AM = 64 \) см.

Мы знаем, что \( 2b + a = 40 \). Подставим это значение:

\( 40 + 2AM = 64 \)

\( 2AM = 64 - 40 \)

\( 2AM = 24 \)

\( AM = \frac{24}{2} \)

\( AM = 12 \) см.

Ответ: 12 см.