14. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол А равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины В, равна 13. Найдите длину стороны ВС. Запишите решение и ответ.

Решение: Пусть дана высота $$BH = 13$$, $$\angle BAC = 120^{\circ}$$. Так как треугольник равнобедренный, то $$AB = AC$$. $$\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, в котором $$\angle AHB = 90^{\circ}$$, $$\angle BAH = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$$. Тогда $$\angle ABH = 60^{\circ}$$. Имеем $$AB = \frac{BH}{\sin(\angle BAH)} = \frac{13}{\sin(60^{\circ})} = \frac{13}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{26}{\sqrt{3}} = \frac{26\sqrt{3}}{3}$$. Далее, опустим высоту $$AD$$ на сторону $$BC$$. Так как треугольник равнобедренный, высота является и медианой, то есть $$BD = DC = \frac{1}{2}BC$$. В прямоугольном треугольнике $$ABD$$ имеем $$\angle ABD = 30^{\circ}$$. Тогда $$\sin(30^{\circ}) = \frac{AD}{AB}$$. $$AD$$ - высота и медиана. Тогда $$BD = AB \cos(30^{\circ}) = \frac{26\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 13$$. $$BC = 2BD = 2 \cdot 13 = 26$$. Ответ: **26**.