4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС из вершин А и В проведены высоты, которые при пересечении образуют угол 100°. Найдите углы треу- гольника.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены высоты из вершин A и B, которые при пересечении образуют угол 100°. Найдите углы треугольника.

Решение:

1. Пусть высоты, проведенные из вершин A и B, пересекаются в точке H. Угол между высотами AHB равен 100°.
2. Рассмотрим четырехугольник, образованный вершинами A, B, H и точкой пересечения высоты из вершины A со стороной BC (назовем эту точку D).
3. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Углы ADB и AEB (где E – точка пересечения высоты из вершины B со стороной AC) прямые, то есть равны 90°.
4. Значит, сумма углов BAH и ABH равна 360° - 90° - 90° = 180°.
5. Угол AHB равен 100°, следовательно, угол между высотами равен 180° - 100° = 80°. Таким образом, угол ACB = 80°. $$\angle ACB = 80^\circ$$
6. Так как треугольник ABC равнобедренный, углы при основании AC равны.
7. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°.
8. Обозначим угол BAC как x. Тогда угол BCA тоже равен x. Угол ABC = 180° - 2x.
9. Зная, что угол между высотами равен 100°, угол ABC = 180 - 100 = 80°.
10. Теперь найдем угол BAC: 2x = 180° - 80° = 100°. Следовательно, x = 50°.
11. Итак, углы треугольника ABC равны: угол BAC = 50°, угол BCA = 50°, угол ABC = 80°.

Ответ: углы треугольника равны 50°, 50° и 80°.