6. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол С равен 80°. Отре- зок ММ проведен так, что ∠CAN = 40° и MN || АС. Найдите ∠BMN. Докажите, что ДАМИ равнобедренный.

Задача 6

Давай решим эту задачу по геометрии! Сначала разберемся с углами и докажем, что треугольник AMN равнобедренный.

1. Найдем углы треугольника ABC:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как угол C равен 80°, то и угол A также равен 80°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому угол B равен:

\[180° - 80° - 80° = 20°\]

2. Найдем угол MAN:

По условию, ∠CAN = 40°. Тогда ∠MAN = ∠BAC - ∠CAN = 80° - 40° = 40°.

3. Найдем угол AMN:

Так как MN || AC, то ∠AMN = ∠MAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и AC и секущей AM). Следовательно, ∠AMN = 40°.

4. Докажем, что треугольник AMN равнобедренный:

В треугольнике AMN угол MAN равен углу AMN (оба по 40°). Значит, треугольник AMN равнобедренный с основанием MN.

5. Найдем угол ANM:

∠ANM = 180° - ∠MAN - ∠AMN = 180° - 40° - 40° = 100°

6. Найдем ∠BNM:

Так как ∠ANM и ∠BNM - смежные, то ∠BNM = 180° - ∠ANM = 180° - 100° = 80°

7. Найдем ∠MNA:

Так как MN || AC, то ∠MNA = ∠NAC (как соответственные). ∠NAC = 80°, тогда ∠MNA = 80°.

8. Найдем ∠MNB:

Так как ∠MNA и ∠MNB смежные, то ∠MNB = 180° - ∠MNA = 180° - 80° = 100°.

9. Найдем ∠BMN:

В треугольнике BMN ∠MBN = ∠ABC = 20°, ∠BNM = 80°. Тогда ∠BMN = 180° - ∠MBN - ∠BNM = 180° - 20° - 80° = 80°.

Ответ: ∠BMN = 80°, треугольник AMN равнобедренный.