1. В равнобедренном треугольнике АВС высота АН в 4 раза меньше основания ВС, равного 16 см. Найдите площадь ДАВС. 2. В параллелограмме ABCD высоты равны 10 и 5 см, площадь параллелограмма равна 60 см². Найдите стороны параллело- грамма. 3. В равнобокой трапеции АВСМ большее основание АМ равно 20 см, высота ВН отсекает от АМ отрезок АН, равный 6 см. Угол ВАМ равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Рассмотрим каждую задачу отдельно.

1. В равнобедренном треугольнике ABC высота AH в 4 раза меньше основания BC, равного 16 см. Найдите площадь ΔABC.

   1. Найдем длину высоты AH: $$AH = \frac{BC}{4} = \frac{16}{4} = 4 \text{ см}$$
   2. Площадь треугольника ABC равна: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 4 = 32 \text{ см}^2$$

   Ответ: 32 см²

2. В параллелограмме ABCD высоты равны 10 и 5 см, площадь параллелограмма равна 60 см². Найдите стороны параллелограмма.

   1. Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть $$a$$ и $$b$$ - стороны параллелограмма, а $$h_a$$ и $$h_b$$ - высоты, проведенные к сторонам $$a$$ и $$b$$ соответственно. Тогда: $$S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$$

   2. Пусть $$h_a = 10 \text{ см}$$, а $$h_b = 5 \text{ см}$$. Тогда: $$a = \frac{S}{h_a} = \frac{60}{10} = 6 \text{ см}$$ $$b = \frac{S}{h_b} = \frac{60}{5} = 12 \text{ см}$$

   Ответ: 6 см, 12 см

3. В равнобокой трапеции ABCM большее основание AM равно 20 см, высота BH отсекает от AM отрезок AH, равный 6 см. Угол BAM равен 45°. Найдите площадь трапеции.

   1. В равнобокой трапеции высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают от большего основания равные отрезки, то есть AH = MK = 6 см. Тогда HM = AM - AH - MK = 20 - 6 - 6 = 8 см.

   2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Так как угол BAM равен 45°, то угол ABH также равен 45° (90° - 45° = 45°). Следовательно, треугольник ABH - равнобедренный, и BH = AH = 6 см.

   3. Так как HM = BC, то BC = 8 см.

   4. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{AM + BC}{2} \cdot BH = \frac{20 + 8}{2} \cdot 6 = \frac{28}{2} \cdot 6 = 14 \cdot 6 = 84 \text{ см}^2$$

   Ответ: 84 см²