5) В равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса ВК, 4В = 120°. Найдите длину биссектрисы, если ВС=120.

В равнобедренном треугольнике АВС, АВ=ВС, ВК - биссектриса, ∠В = 120°, ВС = 120. Найти ВК.

Решение:

1. Т.к. ВК - биссектриса, то ∠АВК = ∠СВК = 120° : 2 = 60°.
2. Сумма углов треугольника равна 180°, значит ∠А + ∠С = 180° - 120° = 60°.
3. Т.к. треугольник АВС равнобедренный, то углы при основании равны, значит ∠А = ∠С = 60° : 2 = 30°.
4. Рассмотрим треугольник СВК, в котором ∠СВК = 60°, ∠С = 30°, ∠ВКС = 180° - 60° - 30° = 90°.
5. Рассмотрим отношение катета ВС к катету ВК, это тангенс угла ∠СВК. $$tg∠CBK = \frac{CK}{BK}$$ $$tg∠CBK = tg 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{120}{BK}$$ $$BK = \frac{120 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{360}{\sqrt{3}} = \frac{360 \sqrt{3}}{3} = 120\sqrt{3}$$

Ответ: $$120\sqrt{3}$$