В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 см, а биссектриса, проведенная к основанию, — 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = 10 см, а биссектриса BD, проведенная к основанию AC, равна 8 см. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, BD ⊥ AC и AD = DC.

1. Находим половину основания:
   По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABD:
   \[ AD^2 + BD^2 = AB^2 \] \[ AD^2 + 8^2 = 10^2 \] \[ AD^2 + 64 = 100 \] \[ AD^2 = 100 - 64 \] \[ AD^2 = 36 \] \[ AD = √{36} = 6 всм \]

   Обоснование: По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2. Находим основание треугольника:
   \[ AC = 2 ⋅ AD = 2 ⋅ 6 всм = 12 всм \]

   Обоснование: Так как BD — медиана, она делит основание AC пополам.

3. Находим радиус вписанной окружности (r):
   Площадь треугольника S можно найти по формуле:
   \[ S = ½ ⋅ основание ⋅ высота \] \[ S = ½ ⋅ AC ⋅ BD = ½ ⋅ 12 всм ⋅ 8 всм = 48 см^2 \] Также площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр (p):
   \[ S = r ⋅ p \] Полупериметр: \[ p = ½ (AB + BC + AC) = ½ (10 + 10 + 12) = ½ ⋅ 32 = 16 всм \] Теперь найдем радиус r: \[ r = ¯S\overline{p} = ¯48\overline{16} = 3 всм \]

   Обоснование: Площадь треугольника может быть выражена двумя способами, что позволяет найти неизвестный радиус.

4. Находим радиус описанной окружности (R):
   Для нахождения радиуса описанной окружности используем формулу:
   \[ R = ¯abc\overline{4S} \] где a, b, c — стороны треугольника, S — его площадь.
   \[ R = ¯{10 ⋅ 10 ⋅ 12}\overline{4 ⋅ 48} = ¯1200\overline{192} = ¯100\overline{16} = ¯25\overline{4} = 6.25 всм \]

   Обоснование: Формула радиуса описанной окружности связывает длины сторон треугольника и его площадь.

Ответ:

• Радиус вписанной окружности: 3 см
• Радиус описанной окружности: 6.25 см