В равнобедренном треугольнике боковые стороны AB и BC равны 10, а сторона основания AC равна 12. Точка N лежит на стороне BC и делит её в отношении BN:NC=3:1. Найти расстояние от точки N до прямой AB.

Опустим высоту из вершины B на основание AC. В равнобедренном треугольнике она делит основание пополам: получаются отрезки по 6.

По теореме Пифагора высота равна \(\sqrt{10^2-6^2}=8\). Введём координаты: \(A=(0,0)\), \(C=(12,0)\), \(B=(6,8)\).

Так как \(BN:NC=3:1\), точка N находится на \(\frac{3}{4}\) пути от B к C. Поэтому \(N=B+\frac{3}{4}(C-B)=(10.5,2)\).

Прямая AB проходит через точки \((0,0)\) и \((6,8)\), поэтому её уравнение: \(4x-3y=0\). Расстояние от точки \((x_0,y_0)\) до прямой \(4x-3y=0\) равно \(\frac{|4x_0-3y_0|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}\).

Для точки N получаем: \(\frac{|4\cdot10.5-3\cdot2|}{5}=\frac{36}{5}=7.2\).

Ответ: 7.20