1. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ угол C равен 52°. Найдите остальные углы. 2. В треугольнике АВС АВ>ВС>АС. Найдите углы А, В,С, если один из углов треугольника АВС равен 20°, другой 40°. 3. Одна из сторон равнобедренного тупоугольного треугольника на 9см больше другой. Найдите стороны треугольника, если периметр равен 57см. 4. В MKL точка А лежит на стороне ML, причём уголМАК острый. Докажите, чтоKL>AK.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, угол E тоже равен 52°.

   Сумма углов в треугольнике равна 180°. Тогда угол D равен: 180° - 52° - 52° = 76°.

   Ответ: углы E = 52°, D = 76°

2. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Тогда угол С равен: 180° - 20° - 40° = 120°.

   Так как АВ>ВС>АС, то против большей стороны лежит больший угол. Значит, угол С - наибольший, угол А - наименьший, угол В - средний.

   Ответ: углы А = 20°, В = 40°, С = 120°

3. Пусть меньшая сторона равна x см, тогда большая сторона равна (x+9) см.

   Рассмотрим два случая:

   • Боковые стороны равны x+9, основание x. Тогда периметр равен: x+9 + x+9 + x = 57. Отсюда 3x+18 = 57, 3x = 39, x = 13. Стороны: 13, 22, 22.
   • Основание равно x+9, боковые стороны x. Тогда периметр равен: x + x + x+9 = 57. Отсюда 3x+9 = 57, 3x = 48, x = 16. Стороны: 16, 16, 25.

   В тупоугольном треугольнике квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон. Проверим:

   • Для первого случая: 22² < 13² + 22². Значит, этот вариант подходит.
   • Для второго случая: 25² > 16² + 16². Значит, этот вариант тоже подходит.

   Ответ: Стороны треугольника могут быть 13, 22, 22 или 16, 16, 25.

4. Так как угол МАК острый, то точка А лежит между точками М и К на стороне ML.

   Рассмотрим треугольник MAK. В нём угол MAK острый, значит, угол MKA тупой (так как сумма углов в треугольнике равна 180°).

   В треугольнике MKL против большего угла лежит большая сторона. Так как угол MKA тупой, то сторона KL больше стороны AK.

   Следовательно, KL > AK.