В равнобедренном треугольнике DFE на боковых сторонах DF и EF соответственно отметили точки M и K так, что FM = FK. Докажите, что ∠DME = ∠DKE. На медиане ВМ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отметили точку О. Докажите, что треугольник АОС равнобедренный.

Это задача по геометрии, требующая доказательства утверждений.

1) Доказательство: ∠DME = ∠DKE

Рассмотрим равнобедренный треугольник DFE с DF = EF. Отметим точки M и K на сторонах DF и EF соответственно, так что FM = FK. Наша задача — доказать, что углы DME и DKE равны.

Так как треугольник DFE равнобедренный, то ∠DFE = ∠DEF. Рассмотрим треугольники DFM и EFK. В этих треугольниках:

• DF = EF (так как DFE равнобедренный);
• FM = FK (по условию);
• ∠DFE = ∠DEF (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Следовательно, треугольники DFM и EFK равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов. В частности, DM = EK.

Теперь рассмотрим треугольники DME и DKE. В этих треугольниках:

• DM = EK (доказано выше);
• DE - общая сторона;
• DF = EF (так как DFE равнобедренный).

Однако необходимо внести уточнение: равенство DF = EF не доказывает равенство треугольников DME и DKE. Вместо этого:

• DM = EK (доказано выше);
• DE - общая сторона;
• ME = KE (так как FM = FK и DF = EF, то DM = EK, а значит ME = DE - DM = DE - EK = KE).

Следовательно, треугольники DME и DKE равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠DME = ∠DKE.

2) Доказательство: Треугольник AOC равнобедренный

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, то есть AB = BC. Медиана BM проведена к основанию AC, а точка O отмечена на этой медиане. Наша задача — доказать, что треугольник AOC равнобедренный, то есть AO = CO.

Так как BM - медиана, проведенная к основанию AC равнобедренного треугольника ABC, то BM является также и высотой, и биссектрисой. Следовательно, BM перпендикулярна AC (BM ⊥ AC), и ∠ABM = ∠CBM.

Рассмотрим треугольники AOM и COM. В этих треугольниках:

• OM - общая сторона;
• ∠AMO = ∠CMO = 90° (так как BM - высота);
• AM = CM (так как BM - медиана).

Следовательно, треугольники AOM и COM равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AO = CO. Значит, треугольник AOC равнобедренный.