В равнобедренном треугольнике GQH с основанием GH и ∠GHQ = 56° проведена биссектриса QP так, что ∠GQP = 34°, a GP = 6 см 8 мм. Определи величину углов Р QH и QGP, а также длину стороны GH.

Дано: Треугольник GQH - равнобедренный, GH - основание, ∠GHQ = 56°, QP - биссектриса, ∠GQP = 34°, GP = 6 см 8 мм = 68 мм.

Найти: ∠PQH, ∠QGP, GH.

Решение:

1. Так как GQH - равнобедренный треугольник с основанием GH, то ∠GHQ = ∠QGH = 56°.
2. Рассмотрим треугольник GQP. Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, ∠GPQ = 180° - ∠GQP - ∠QGH = 180° - 34° - 56° = 90°.
3. QP - биссектриса угла HQG, значит ∠HQG = 2 * ∠GQP = 2 * 34° = 68°.
4. ∠PQH = ∠HQG - ∠GQP = 68° - 34° = 34°.
5. Так как треугольник GQH равнобедренный, то ∠GQH = ∠GHQ. Тогда, ∠GQH = 56°.
6. ∠QGP = 34° (дано в условии).
7. Так как QP - биссектриса угла GQH, то ∠PQH = ∠PQG = 34°
8. Рассмотрим треугольник GPQ - прямоугольный, ∠GPQ = 90, а ∠GQP = 34. Тогда sin(∠GQP) = GP/GQ, GQ = GP/sin(∠GQP) = 68мм / sin(34) = 68мм / 0.559 = 121.64мм.
9. Так как треугольник GQH равнобедренный, то GQ = HQ = 121.64мм.
10. Рассмотрим треугольник HQG - равнобедренный, ∠GHQ = 56, то sin(∠GHQ) = GP/HQ, то HP = HQ * cos(∠GHQ) = 121.64 * cos(56) = 68.05мм. GH = 2 * HP = 2 * 68.05мм = 136.1мм = 13.61 см.

Ответ:

∠PQH = 34°

∠QGP = 34°

GH = 13.61 см