Контрольные задания
Вопрос:

В равнобедренном треугольнике MNK с основанием МК проведён отрезок МТ так, что Т € NK, NT = MT = KM. Найди значения углов 1, 2, 3 и 4.

Фото задания: В равнобедренном треугольнике MNK с основанием МК проведён отрезок МТ так, что Т € NK, NT = MT = KM. Найди значения углов…Фото задания

Ответ:

Решение:

Дано: \( \triangle MNK \) — равнобедренный, \( MK \) — основание. \( MT \) — отрезок, \( T \in NK \). \( NT = MT = KM \).

1. Анализ условия:

  1. \( \triangle MNK \) — равнобедренный с основанием \( MK \) означает, что \( MN = NK \) и \( \angle NMK = \angle NKM \).
  2. \( NT = MT \) означает, что \( \triangle NTM \) — равнобедренный, следовательно, \( \angle TNM = \angle TMN \).
  3. \( MT = KM \) означает, что \( \triangle MKT \) — равнобедренный, следовательно, \( \angle MTK = \angle MKT \).

2. Обозначим углы:

  • Пусть \( \angle NKM = \angle NMK = \alpha \) (угол при основании \( MK \) в \( \triangle MNK \)).
  • Пусть \( \angle TNM = \angle TMN = \beta \) (углы при основании \( NT \) в \( \triangle NTM \)).
  • Пусть \( \angle MTK = \angle MKT = \gamma \) (углы при основании \( MT \) в \( \triangle MKT \)).

3. Составление уравнений:

  • В \( \triangle MNK \): \( \angle MNK + \angle NMK + \angle NKM = 180^{\circ} \), то есть \( \angle MNK + \alpha + \alpha = 180^{\circ} \) \( \Rightarrow \angle MNK = 180^{\circ} - 2\alpha \).
  • Угол \( \angle MNK \) состоит из углов \( \angle TNM \) и \( \angle TMN \) (это неверно, \( T \) на \( NK \)).
  • Угол \( \angle MNK = \angle 1 \).
  • Угол \( \angle NMK = \angle 2 + \angle 3 \).
  • Угол \( \angle NKM = \angle 4 \).
  • Так как \( \triangle MNK \) равнобедренный с основанием \( MK \) , то \( \angle 2 + \angle 3 = \angle 4 \).
  • В \( \triangle MKT \) углы при основании \( MT \) равны: \( \angle MKT = \angle MTK \). \( \angle 4 = \angle MTK \).
  • Угол \( \angle MTK \) является внешним для \( \triangle NTM \).
  • В \( \triangle NTM \) : \( \angle TNM = \angle 1 \) (неверно, \( T \) на \( NK \)).

Давай переобозначим углы согласно рисунку:

  • \( \angle 1 = \angle TNM \)
  • \( \angle 2 = \angle KMT \)
  • \( \angle 3 = \angle T M K \)
  • \( \angle 4 = \angle NKM \)

4. Уточненный анализ:

  • \( \triangle MNK \) — равнобедренный с основанием \( MK \) \( \Rightarrow MN = NK \) и \( \angle 2 + \angle 3 = \angle 4 \).
  • \( NT = MT \) \( \Rightarrow \triangle NTM \) — равнобедренный. \( \angle 1 = \angle 3 \).
  • \( MT = KM \) \( \Rightarrow \triangle MKT \) — равнобедренный. \( \angle 4 = \angle MTK \).

5. Решение:

  1. Из \( \triangle MKT \) имеем: \( \angle 4 = \angle MTK \).
  2. Угол \( \angle MTK \) — внешний угол \( \triangle NTM \) по отношению к вершине \( T \). \( \angle MTK = \angle 1 + \angle 3 \).
  3. Тогда \( \angle 4 = \angle 1 + \angle 3 \).
  4. Из \( \triangle MNK \) имеем: \( \angle 2 + \angle 3 = \angle 4 \).
  5. Подставим \( \angle 4 \) из шага 3 в шаг 4: \( \angle 2 + \angle 3 = \angle 1 + \angle 3 \) \( \Rightarrow \angle 2 = \angle 1 \).
  6. Но мы знаем, что \( \angle 1 = \angle 3 \) (из \( \triangle NTM \)).
  7. Значит, \( \angle 1 = \angle 2 = \angle 3 \).
  8. Теперь подставим это в равенство \( \angle 2 + \angle 3 = \angle 4 \): \( \angle 1 + \angle 1 = \angle 4 \) \( \Rightarrow \angle 4 = 2 \angle 1 \).
  9. Также, \( \angle 4 = \angle MTK = \angle 1 + \angle 3 = \angle 1 + \angle 1 = 2 \angle 1 \).
  10. Теперь рассмотрим \( \triangle MNK \). Сумма углов равна \( 180^{\circ} \): \( \angle 1 + (\angle 2 + \angle 3) + \angle 4 = 180^{\circ} \).
  11. Подставим наши соотношения: \( \angle 1 + (\angle 1 + \angle 1) + 2\angle 1 = 180^{\circ} \).
  12. \( \angle 1 + 2\angle 1 + 2\angle 1 = 180^{\circ} \).
  13. \( 5\angle 1 = 180^{\circ} \).
  14. \( \angle 1 = \frac{180^{\circ}}{5} = 36^{\circ} \).
  15. Тогда:
  16. \( \angle 1 = 36^{\circ} \)
  17. \( \angle 2 = \angle 1 = 36^{\circ} \)
  18. \( \angle 3 = \angle 1 = 36^{\circ} \)
  19. \( \angle 4 = 2 \angle 1 = 2 \times 36^{\circ} = 72^{\circ} \)

Проверка:

  • \( \angle 2 + \angle 3 = 36^{\circ} + 36^{\circ} = 72^{\circ} \).
  • \( \angle 4 = 72^{\circ} \). Условие \( \angle 2 + \angle 3 = \angle 4 \) выполнено.
  • \( \angle MNK = \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 36^{\circ} + 36^{\circ} + 36^{\circ} = 108^{\circ} \).
  • \( \angle NKM = \angle 4 = 72^{\circ} \).
  • \( \angle NMK = \angle 2 + \angle 3 = 36^{\circ} + 36^{\circ} = 72^{\circ} \).
  • \( \triangle MNK \) — равнобедренный, \( \angle NKM = \angle NMK \).
  • Сумма углов \( \triangle MNK \): \( 108^{\circ} + 72^{\circ} + 72^{\circ} = 252^{\circ} \). Это неверно.

Пересмотрим обозначения углов согласно рисунку:

  • \( \angle 1 \) — угол при вершине \( N \) в \( \triangle NTM \).
  • \( \angle 2 \) — угол при вершине \( M \) в \( \triangle MKT \).
  • \( \angle 3 \) — угол при вершине \( M \) в \( \triangle NTM \).
  • \( \angle 4 \) — угол при вершине \( K \) в \( \triangle MNK \) и \( \triangle MKT \).

Уточненные условия:

  • \( \triangle MNK \) равнобедренный с основанием \( MK \) \( \Rightarrow MN = NK \) и \( \angle NMK = \angle NKM \).
  • \( \angle NMK \) = \( \angle 2 + \angle 3 \). \( \angle NKM = \angle 4 \). \( \Rightarrow \angle 2 + \angle 3 = \angle 4 \).
  • \( NT = MT \) \( \Rightarrow \triangle NTM \) равнобедренный. \( \angle 1 = \angle 3 \).
  • \( MT = KM \) \( \Rightarrow \triangle MKT \) равнобедренный. \( \angle 2 = \angle MTK \).
  • \( \angle MTK \) — внешний угол \( \triangle NTM \). \( \angle MTK = \angle 1 + \angle 3 \).

Решение (вторая попытка):

  1. Из \( \triangle MKT \) : \( \angle 2 = \angle MTK \).
  2. Из \( \triangle NTM \) : \( \angle 1 = \angle 3 \).
  3. \( \angle MTK = \angle 1 + \angle 3 \) (внешний угол \( \triangle NTM \)).
  4. Подставляем \( \angle 1 = \angle 3 \) в \( \angle MTK \): \( \angle MTK = \angle 1 + \angle 1 = 2 \angle 1 \).
  5. Так как \( \angle 2 = \angle MTK \), то \( \angle 2 = 2 \angle 1 \).
  6. Из \( \triangle MNK \) : \( \angle 2 + \angle 3 = \angle 4 \).
  7. Подставляем \( \angle 2 = 2 \angle 1 \) и \( \angle 3 = \angle 1 \): \( 2\angle 1 + \angle 1 = \angle 4 \) \( \Rightarrow \angle 4 = 3\angle 1 \).
  8. Теперь суммируем углы в \( \triangle MNK \): \( \angle MNK + \angle NMK + \angle NKM = 180^{\circ} \).
  9. \( \angle MNK \) — это угол \( \angle 1 \) (угол при вершине \( N \) в \( \triangle NTM \)).
  10. \( \angle NMK = \angle 2 + \angle 3 = 2\angle 1 + \angle 1 = 3\angle 1 \).
  11. \( \angle NKM = \angle 4 = 3\angle 1 \).
  12. Сумма углов: \( \angle 1 + 3\angle 1 + 3\angle 1 = 180^{\circ} \).
  13. \( 7\angle 1 = 180^{\circ} \).
  14. \( \angle 1 = \frac{180^{\circ}}{7} \). Это дробный результат, что маловероятно для такой задачи.

Третья попытка, внимательнее с обозначениями и свойствами.

Условие: \( \triangle MNK \) — равнобедренный с основанием \( MK \) \( \Rightarrow MN = NK \) и \( \angle NMK = \angle NKM \). Отрезок \( MT \) проведён так, что \( T \in NK \), и \( NT = MT = KM \).

Обозначим:

  • \( \angle 1 = \angle TNM \)
  • \( \angle 2 = \angle KMT \)
  • \( \angle 3 = \angle T M N \)
  • \( \angle 4 = \angle NKM \)

Из условия:

  1. \( \triangle MNK \) равнобедренный с основанием \( MK \) \( \Rightarrow MN = NK \) и \( \angle NMK = \angle NKM \). \( \angle NMK = \angle 2 + \angle 3 \). \( \angle NKM = \angle 4 \). \( \Rightarrow \angle 2 + \angle 3 = \angle 4 \).
  2. \( NT = MT \) \( \Rightarrow \triangle NTM \) равнобедренный. \( \angle TNM = \angle 3 \) (так как \( \angle 1 \) на рисунке в другом месте).
  3. \( MT = KM \) \( \Rightarrow \triangle MKT \) равнобедренный. \( \angle MKT = \angle MTK \). \( \angle MKT = \angle 4 \). \( \Rightarrow \angle MTK = \angle 4 \).

Теперь обозначим углы, соответствующие цифрам на рисунке:

  • \( \angle 1 \) — угол при вершине \( N \) в \( \triangle NTM \).
  • \( \angle 3 \) — угол при вершине \( M \) в \( \triangle NTM \) (т.е. \( \angle T M N \)).
  • \( \angle 2 \) — часть угла при вершине \( M \) в \( \triangle MNK \) (т.е. \( \angle KMT \)).
  • \( \angle 4 \) — угол при вершине \( K \) в \( \triangle MNK \).

Итак, из условия:

  1. \( \triangle MNK \) равнобедренный, основание \( MK \) \( \Rightarrow MN = NK \) и \( \angle NMK = \angle NKM \). \( \angle NKM = \angle 4 \). \( \angle NMK = \angle 2 + \angle 3 \) (где \( \angle 3 = \angle T M N \)). \( \Rightarrow \angle 2 + \angle 3 = \angle 4 \).
  2. \( NT = MT \) \( \Rightarrow \triangle NTM \) равнобедренный. \( \angle 1 = \angle 3 \).
  3. \( MT = KM \) \( \Rightarrow \triangle MKT \) равнобедренный. \( \angle MKT = \angle MTK \). \( \angle MKT = \angle 4 \). \( \Rightarrow \angle MTK = \angle 4 \).
  4. \( \angle MTK \) — внешний угол \( \triangle NTM \). \( \angle MTK = \angle 1 + \angle 3 \).
  5. Из \( 3 \) и \( 4 \): \( \angle 4 = \angle 1 + \angle 3 \).
  6. Из \( 2 \): \( \angle 4 = \angle 3 + \angle 3 = 2\angle 3 \).
  7. Из \( 1 \): \( \angle 2 + \angle 3 = \angle 4 \). Подставляем \( \angle 4 = 2\angle 3 \): \( \angle 2 + \angle 3 = 2\angle 3 \) \( \Rightarrow \angle 2 = \angle 3 \).
  8. Итак, \( \angle 1 = \angle 2 = \angle 3 \).
  9. Тогда \( \angle 4 = 2\angle 3 \) (из \( 6 \)).
  10. Теперь рассмотрим \( \triangle MNK \): \( \angle MNK + \angle NMK + \angle NKM = 180^{\circ} \).
  11. \( \angle MNK = \angle 1 \). \( \angle NMK = \angle 2 + \angle 3 \). \( \angle NKM = \angle 4 \).
  12. Подставляем \( \angle 1 = \angle 3 \) и \( \angle 2 = \angle 3 \): \( \angle MNK = \angle 3 \). \( \angle NMK = \angle 3 + \angle 3 = 2\angle 3 \). \( \angle NKM = \angle 4 = 2\angle 3 \).
  13. Сумма углов: \( \angle 3 + 2\angle 3 + 2\angle 3 = 180^{\circ} \).
  14. \( 5\angle 3 = 180^{\circ} \).
  15. \( \angle 3 = \frac{180^{\circ}}{5} = 36^{\circ} \).
  16. Теперь находим остальные углы:
  17. \( \angle 1 = \angle 3 = 36^{\circ} \)
  18. \( \angle 2 = \angle 3 = 36^{\circ} \)
  19. \( \angle 4 = 2\angle 3 = 2 \times 36^{\circ} = 72^{\circ} \)

Проверка:

  • \( MN = NK \) (равнобедренный \( \triangle MNK \)).
  • \( \angle NMK = \angle 2 + \angle 3 = 36^{\circ} + 36^{\circ} = 72^{\circ} \).
  • \( \angle NKM = \angle 4 = 72^{\circ} \). Условие \( \angle NMK = \angle NKM \) выполнено.
  • \( NT = MT \) (равнобедренный \( \triangle NTM \)).
  • \( \angle TNM = \angle 1 = 36^{\circ} \).
  • \( \angle T M N = \angle 3 = 36^{\circ} \). Условие \( \angle TNM = \angle T M N \) выполнено.
  • \( MT = KM \) (равнобедренный \( \triangle MKT \)).
  • \( \angle MKT = \angle 4 = 72^{\circ} \).
  • \( \angle MTK = \angle 4 = 72^{\circ} \). Условие \( \angle MKT = \angle MTK \) выполнено.
  • Проверим сумму углов в \( \triangle MNK \): \( \angle 1 \) + \( \angle NMK \) + \( \angle NKM \) = \( 36^{\circ} + 72^{\circ} + 72^{\circ} = 180^{\circ} \). Верно.
  • Проверим сумму углов в \( \triangle NTM \): \( \angle 1 + \angle 3 + \angle TNM \). \( \angle TNM \) = \( \angle 1 \). \( \angle T M N \) = \( \angle 3 \). \( \angle NT M = 180^{\circ} - \angle MTK = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \). Сумма углов \( \triangle NTM \): \( 36^{\circ} + 36^{\circ} + 108^{\circ} = 180^{\circ} \). Верно.
  • Проверим сумму углов в \( \triangle MKT \): \( \angle 2 + \angle 4 + \angle MTK \). \( \angle KMT = \angle 2 = 36^{\circ} \). \( \angle MKT = \angle 4 = 72^{\circ} \). \( \angle MTK = \angle 4 = 72^{\circ} \). Сумма углов \( \triangle MKT \): \( 36^{\circ} + 72^{\circ} + 72^{\circ} = 180^{\circ} \). Верно.

    • Ответ:

    • \( angle 1 = 36^{\circ} \)
    • \( angle 2 = 36^{\circ} \)
    • \( angle 3 = 36^{\circ} \)
    • \( angle 4 = 72^{\circ} \)