В равнобедренном треугольнике MNK точка D - середина основания MK, DA и DB - перпендикуляры к боковым сторонам. Докажите, что \(\angle ADN = \angle BDN\)

Доказательство: 1. Рассмотрим равнобедренный треугольник MNK. Так как D - середина основания MK, то MD = DK. 2. AD и BD - перпендикуляры к боковым сторонам MN и NK соответственно. Следовательно, \(\angle ADN = 90°\) и \(\angle BDN = 90°\). 3. Рассмотрим треугольники ADN и BDN. У них ND - общая сторона. Так как треугольник MNK равнобедренный, то MN = NK. Углы при основании MK равны, то есть \(\angle NMK = \angle NKM\). 4. Рассмотрим треугольники MDA и KDB. У них MD = DK (так как D - середина MK), \(\angle DMA = \angle DKB\) (углы при основании равнобедренного треугольника) и \(\angle DAM = \angle DBK = 90°\) (так как AD и BD - перпендикуляры). Следовательно, \(\triangle MDA = \triangle KDB\) по стороне и двум прилежащим углам. 5. Из равенства треугольников MDA и KDB следует, что AD = BD. 6. Теперь рассмотрим треугольники ADN и BDN. У них ND - общая сторона, AD = BD (доказано выше), и \(\angle AND = \angle BND = 90°\) (так как AD и BD - перпендикуляры). Следовательно, \(\triangle ADN = \triangle BDN\) по двум сторонам и углу между ними. 7. Из равенства треугольников ADN и BDN следует, что \(\angle ADN = \angle BDN\). Ч.Т.Д.