В равнобедренном треугольнике МРК с основанием МК провели биссектрису МВ. Оказалось, что треугольник МРВ равнобедренный, причём МВ = ВР. Найдите угол К треугольника МРК.

Решение:

• Анализ условия: В равнобедренном треугольнике МРК (МК - основание) проведена биссектриса МВ. Треугольник МРВ оказался равнобедренным с МВ = ВР.
• Следствие из равнобедренности МРВ: Так как МВ = ВР, то углы, лежащие напротив этих сторон, равны: $$\angle VMR = \angle VRP$$.
• Следствие из биссектрисы: МВ - биссектриса угла М, значит, $$\angle RMV = \angle KMV$$.
• Связь углов: Так как $$\angle VMR = \angle VRP$$ и $$\angle RMV = \angle KMV$$, то $$\angle KMV = \angle VRP$$.
• Свойства равнобедренного треугольника МРК: Углы при основании равны: $$\angle RMK = \angle RKM$$.
• Сопоставление: Поскольку $$\angle RMV = \angle KMV$$ и $$\angle VMR = \angle VRP$$, то $$\angle RMV = \angle KMV = \angle VRP$$.
• Равенство сторон: В треугольнике МРК $$\angle RMK = \angle RKM$$.
• Равнобедренность МРК: Если $$\angle VMR = \angle RKM$$ (что следует из $$\angle RMV = \angle KMV$$ и $$\angle RMK = \angle RKM$$), то треугольник МРК равнобедренный с основанием МК.
• Равенство сторон в МРК: Это означает, что МР = РК.
• Равнобедренность МРВ: В треугольнике МРВ $$\angle RMV = \angle RPV$$ (углы при основании МР), и $$\angle MRV = \angle MPR$$.
• Из условия: МВ = ВР.
• Углы треугольника МРВ: $$\angle VMR = \angle VRP$$.
• Углы треугольника МРК: $$\angle RMK = \angle RKM$$.
• Связь: Так как МВ — биссектриса, $$\angle RMV = \angle KMV$$.
• Равенство углов: Из равенства сторон МВ=ВР следует равенство углов $$\angle VMR = \angle VRP$$.
• Тогда: $$\angle KMV = \angle RMV = \angle VRP$$.
• В треугольнике МРК: $$\angle RMK = \angle RKM$$.
• Из равенства сторон МВ=ВР в равнобедренном $$\triangle MPB$$, следует, что $$\angle P = \angle M_1$$.
• Поскольку $$\triangle MPK$$ равнобедренный (МК — основание), то $$\angle M = \angle K$$.
• Так как МВ — биссектриса, то $$\angle M = \angle M_1 + \angle M_2$$, и $$\angle M_1 = \angle M_2$$.
• Из $$\triangle MPB$$, $$\angle M_1 = \angle P$$.
• Следовательно: $$\angle M = \angle K = \angle P = \angle M_1 = \angle M_2$$.
• Сумма углов треугольника: $$\angle M + \angle P + \angle K = 180^°$$.
• Подстановка: $$\angle M + \angle M + \angle M = 180^°$$ (так как $$\angle P = \angle M$$ и $$\angle K = \angle M$$).
• $$3 \angle M = 180^°$$.
• $$\angle M = 60^°$$.
• Следовательно: $$\angle K = 60^°$$ и $$\angle P = 60^°$$.
• Проверка: Треугольник МРК равносторонний ($$ riangle MPK$$ — равносторонний), значит, все углы равны 60°. В равностороннем треугольнике биссектриса является медианой и высотой. Если МВ — биссектриса, то $$\angle RMV = \angle KMV = 30^°$$. Треугольник МРВ равнобедренный с МВ=ВР. Угол $$\angle P = 60^°$$. Тогда $$\angle VMR = \angle VRP = (180^° - 60^°)/2 = 60^°$$. Это противоречит тому, что $$\angle RMV = 30^°$$.
• Пересмотрим: В равнобедренном $$\triangle MPK$$ (МК - основание), $$\angle M = \angle K$$. МВ - биссектриса $$\angle M$$, значит $$\angle RMV = \angle KMV$$.
• $$ riangle MPB$$ равнобедренный (МВ = ВР), значит $$\angle VMR = \angle VRP$$.
• Таким образом $$\angle RMV = \angle KMV = \angle VMR = \angle VRP$$.
• Из $$\triangle MPK$$, $$\angle M = \angle K$$.
• Из $$\triangle MPB$$, $$\angle P = 180^° - (\angle VMR + \angle VRP) = 180^° - 2 \angle VMR$$.
• $$ riangle MPK$$: $$\angle M + \angle P + \angle K = 180^°$$.
• $$\angle K + (180^° - 2 \angle VMR) + \angle K = 180^°$$.
• $$2 \angle K - 2 \angle VMR = 0$$.
• $$\angle K = \angle VMR$$.
• Так как $$\angle K = \angle RMK$$, то $$\angle RMK = \angle VMR$$.
• Но $$\angle RMK = \angle RMV + \angle VMR$$.
• $$\angle RMV + \angle VMR = \angle VMR$$.
• $$\angle RMV = 0$$. Это невозможно.
• Перечитаем условие: "В равнобедренном треугольнике МРК с основанием МК провели биссектрису МВ. Оказалось, что треугольник МРВ равнобедренный, причём МВ = ВР."
• 1. $$ riangle MPK$$ равнобедренный с основанием МК $$\implies \angle M = \angle K$$.
• 2. МВ - биссектриса $$\implies \angle RMV = \angle KMV$$.
• 3. $$ riangle MPB$$ равнобедренный с МВ = ВР $$\implies \angle VMR = \angle VRP$$.
• 4. Из (1) и (2), $$\angle M = \angle K$$.
• 5. Из (2) и (3), $$\angle RMV = \angle KMV$$ и $$\angle VMR = \angle VRP$$.
• 6. В $$ riangle MPK$$: $$\angle M + \angle P + \angle K = 180^°$$.
• 7. В $$ riangle MPB$$: $$\angle P + \angle PMB + \angle PBM = 180^°$$.
• $$\angle P + \angle VMR + \angle PBM = 180^°$$.
• 8. $$\angle PBM = 180^° - \angle VMR$$.
• 9. $$\angle M = \angle RMV + \angle VMR$$. $$\angle K$$.
• 10. $$\angle M = \angle K$$.
• 11. $$\angle RMV = \angle KMV$$.
• 12. $$\angle VMR = \angle VRP$$.
• 13. $$\angle P$$ - общий для $$\triangle MPK$$ и $$\triangle MPB$$.
• 14. $$\angle K = \angle VMR$$.
• Доказательство: В $$ riangle MPK$$, $$\angle P + 2\angle K = 180^°$$.
• В $$ riangle MPB$$, $$\angle P + \angle PBM + \angle VMR = 180^°$$.
• Так как $$\angle PBM = 180^° - \angle VMR$$ (смежные углы),
• $$\'$$\angle P + (180^° - \angle VMR) + \angle VMR = 180^°$$.
• $$\angle P + 180^° = 180^°$$. Это значит, что $$\angle P=0$$, что невозможно.
• Попробуем иначе:
• 1. $$\triangle MPK$$ равнобедренный, основание МК $$\implies \angle M = \angle K$$.
• 2. МВ - биссектриса $$\implies \angle RMV = \angle KMV$$.
• 3. $$\triangle MPB$$ равнобедренный, МВ = ВР $$\implies \angle PMB = \angle R$$.
• $$\implies \angle VMR = \angle VRP$$.
• 4. Так как $$\angle M = \angle K$$, и $$\angle M = \angle RMV + \angle VMR$$, то $$\angle K = \angle RMV + \angle VMR$$.
• 5. Из (3), $$\angle R = \angle VMR$$.
• 6. Подставляем (5) в (4): $$\angle K = \angle RMV + \angle R$$.
• 7. Из (3) $$\angle RMV = \angle R$$.
• 8. Подставляем (7) в (6): $$\angle K = \angle R + \angle R = 2 \angle R$$.
• 9. В $$ riangle MPK$$: $$\angle P + \angle M + \angle K = 180^°$$.
• 10. $$\angle P + \angle K + \angle K = 180^°$$ (так как $$\angle M = \angle K$$).
• 11. $$\angle P + 2\angle K = 180^°$$.
• 12. Из (7), $$\angle R = \angle RMV$$.
• 13. $$\angle P + 2(\angle RMV + \angle R) = 180^°$$.
• 14. $$\angle P + 2\angle RMV + 2\angle R = 180^°$$.
• 15. Из (3), $$\angle P = 180^° - 2\angle VMR$$.
• 16. $$180^° - 2\angle VMR + 2\angle RMV + 2\angle R = 180^°$$.
• 17. $$-2\angle VMR + 2\angle RMV + 2\angle R = 0$$.
• 18. $$\angle RMV = \angle VMR - \angle R$$.
• 19. Вспомним, что $$\angle RMV = \angle KMV$$ и $$\angle VMR = \angle VRP$$.
• 20. $$\angle RMV = \angle VMR$$.
• 21. $$\angle KMV = \angle VMR$$.
• 22. $$\angle RMK = \angle RMV + \angle KMV = 2 \angle KMV$$.
• 23. $$\angle VMR = \angle KMV$$.
• 24. $$\angle K = \angle RMK = 2 \angle KMV$$.
• 25. $$\angle VMR = \angle KMV$$.
• 26. $$\angle P$$ - общий.
• 27. $$\triangle MPK$$ и $$\triangle MPB$$.
• 28. $$\angle M = \angle K$$.
• 29. $$\angle RMV = \angle KMV$$.
• 30. $$\angle VMR = \angle VRP$$.
• 31. $$\angle P + \angle M + \angle K = 180^°$$.
• 32. $$\angle P + 2\angle K = 180^°$$.
• 33. $$\angle P + \angle VMR + \angle PBM = 180^°$$.
• 34. $$\angle PBM = 180^° - \angle VMR$$.
• 35. $$\angle K = \angle RMV + \angle VMR$$.
• 36. $$\angle RMV = \angle R$$.
• 37. $$\angle VMR = \angle R$$.
• 38. $$\angle K = \angle R + \angle R = 2\angle R$$.
• 39. $$\angle M = \angle K = 2\angle R$$.
• 40. $$\angle P + 2\angle R + 2\angle R = 180^°$$.
• 41. $$\angle P + 4\angle R = 180^°$$.
• 42. $$\triangle MPB$$: $$\angle P + \angle PMB + \angle PBM = 180^°$$.
• 43. $$\angle P + \angle R + (180^° - \angle R) = 180^°$$.
• 44. $$\angle P + 180^° = 180^°$$. $$\angle P = 0$$. Опять ошибка.
• Ошибка в интерпретации $$\angle P = \angle VMR$$.
• 1. $$\triangle MPK$$ равнобедренный, основание МК $$\implies \angle M = \angle K$$.
• 2. МВ - биссектриса $$\implies \angle RMV = \angle KMV$$.
• 3. $$\triangle MPB$$ равнобедренный, МВ = ВР $$\implies \angle PMB = \angle P$$.
• $$\implies \angle VMR = \angle VRP$$.
• 4. $$\angle M = \angle RMV + \angle VMR$$.
• 5. $$\angle K$$.
• 6. $$\angle M = \angle K$$.
• 7. $$\angle RMV = \angle KMV$$.
• 8. $$\angle VMR = \angle VRP$$.
• 9. $$\angle PMB = \angle P$$.
• 10. $$\angle K = \angle RMV + \angle VMR$$.
• 11. $$\angle RMV = \angle P$$.
• 12. $$\angle K = \angle P + \angle VMR$$.
• 13. $$\angle VMR = \angle VRP$$.
• 14. $$\angle P = \angle R$$.
• 15. $$\angle K = \angle P + \angle P = 2\angle P$$.
• 16. $$\angle M = \angle K = 2\angle P$$.
• 17. В $$ riangle MPK$$: $$\angle P + \angle M + \angle K = 180^°$$.
• 18. $$\angle P + 2\angle P + 2\angle P = 180^°$$.
• 19. $$5\angle P = 180^°$$.
• 20. $$\angle P = 36^°$$.
• 21. $$\angle K = 2\angle P = 2 \times 36^° = 72^°$$.
• 22. $$\angle M = \angle K = 72^°$$.
• 23. Проверка: $$\angle M = 72^°$$. $$\angle P = 36^°$$. $$\angle K = 72^°$$. Сумма: $$72+36+72 = 180^°$$.
• МВ - биссектриса $$\implies \angle RMV = \angle KMV = 72^° / 2 = 36^°$$.
• $$\triangle MPB$$ равнобедренный, МВ = ВР $$\implies \angle PMB = \angle P = 36^°$$.
• Это означает, что $$\angle RMV = 36^°$$ и $$\angle PMB = 36^°$$.
• $$\angle VMR = \angle M - \angle RMV = 72^° - 36^° = 36^°$$.
• В $$ riangle MPB$$: $$\angle P = 36^°$$, $$\angle PMB = 36^°$$.
• Тогда $$\angle PBM = 180^° - (36^° + 36^°) = 180^° - 72^° = 108^°$$.
• $$\angle VMR = 36^°$$.
• $$\angle VRP = \angle VMR = 36^°$$ (из условия $$ riangle MPB$$ равнобедренный).
• $$\angle PBM$$ и $$\angle VRP$$ - смежные углы? Нет.
• $$f{Повторный анализ riangle MPB}$$:
• $$f{МВ = ВР ightarrow riangle MPB ext{ равнобедренный}}$$.
• $$\bf{ ext{Углы при основании равны: } \angle PMB = \angle P}$$.
• $$\bf{ ext{МВ — биссектриса } riangle MPK ightarrow \angle RMV = \angle KMV}$$.
• $$\bf{ riangle MPK ext{ равнобедренный } (МК — ext{ основание) } ightarrow \angle M = \angle K}$$.
• $$\bf{ ext{Итого: }}$$
• $$\bf{\angle M = \angle K}$$
• $$\bf{\angle RMV = \angle KMV}$$
• $$\bf{\angle PMB = \angle P}$$
• $$\bf{\angle VMR = \angle VRP}$$ (из равнобедренности $$ riangle MPB$$)
• $$\bf{ ext{Из } \angle M = \angle K ext{ и } \angle RMV = \angle KMV ext{ следует, что } \angle VMR = \angle K}$$.
• $$\bf{ ext{Но } \angle VMR = \angle VRP}$$.
• $$\bf{ ext{Значит, } \angle K = \angle VRP}$$.
• $$\bf{ ext{В } riangle MPK: \angle P + \angle M + \angle K = 180^°$$.
• $$\bf{\text{Заменим } \angle M ext{ на } \angle K: \angle P + 2\angle K = 180^°}$$.
• $$\bf{ ext{В } riangle MPB: \angle P + \angle PMB + \angle PBM = 180^°}$$.
• $$\bf{ ext{Заменим } \angle PMB ext{ на } \angle P: \angle P + \angle P + \angle PBM = 180^° ightarrow 2\angle P + \angle PBM = 180^°}$$.
• $$\bf{ ext{Из } \angle RMV = \angle KMV ext{ и } \angle VMR = \angle VRP ext{ и } \angle M = \angle K}$$.
• $$\bf{\text{Пусть } \angle K = x}$$.
• $$\bf{\text{Тогда } \angle M = x}$$.
• $$\bf{\angle RMV = \angle KMV = x/2}$$.
• $$\bf{\angle VMR = \angle M - \angle RMV = x - x/2 = x/2}$$.
• $$\bf{\text{Так как } \triangle MPB ext{ равнобедренный с } MB=BP, \text{ то } \angle PMB = \angle P}$$.
• $$\bf{\angle PMB = \angle VMR = x/2}$$.
• $$\bf{ ext{Итак, } \angle P = x/2}$$.
• $$\bf{\text{Подставим в сумму углов } riangle MPK:}$$
• $$\bf{\angle P + \angle M + \angle K = 180^°}$$.
• $$\bf{x/2 + x + x = 180^°}$$.
• $$\bf{2.5x = 180^°}$$.
• $$\bf{x = 180^° / 2.5 = 1800^° / 25 = 72^°}$$.
• $$\bf{ ext{Угол } K = x = 72^°}$$.

Ответ: 72